[論文レビュー] Shen's Processes on Finslerian Connections

Akbar Tayebi, Behzad Najafi|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、マツモトのプロセスを一般化するフィンスラー接続における新規変換である Shen の C-および L-プロセスを導入する。Chern 接続から Shen の C-プロセスを経て Shen 接続が得られることを証明し、曲率不変性および同値条件を確立する：hv-曲率の一致はリーマン計量を特徴づけ、hh-曲率の一致はランドスバーグ計量を示す。本結果は、フィンスラー幾何における新しい幾何的プロセスにおける曲率挙動を明確にする。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the invariant properties of curvatures effected by the Matsumoto's $C$ or $L$-process. We find equivalent conditions on curvatures by comparing the difference between the corresponding curvatures of closely related connections. As an application, Matsumoto's $L$-process on Randers manifold is studied. Shen connection can not be obtained by using Matsumoto's processes from other well-known connections. This leads us to two new processes which we call Shen's $C$ and $L$-processes. We study the invariant properties of curvatures under the Shen's processes.

研究の動機と目的

• Chern や Berwald などの既知の接続からマツモトの C-および L-プロセスを用いて Shen 接続が得られないというギャップを解消すること。
• マツモトの枠組みを拡張し、Shen 接続を含む新たなプロセスとして、Shen の C-プロセスおよび L-プロセスを定義すること。
• これらの新規プロセス下での曲率不変性および同値条件（特に hh-、hv-、vv-曲率）を調査すること。
• Chern、Berwald、Cartan などの代表的接続に対する Shen プロセスの影響を分析し、曲率一致から計量の特徴づけを導出すること。
• Finsler 計量が、新規プロセス下での曲率挙動に基づいて、いつランドスバーグ計量またはリーマン計量に簡約されるかの条件を確立すること。

提案手法

• マツモトの C-および L-プロセスを一般化し、フィンスラー接続への変換として Shen の C-プロセスおよび L-プロセスを定義する。
• ベースとなる接続として Cartan 接続を採用し、関連する接続間で同一の水平分布を仮定する。
• 微分幾何的技法を用いる：構造方程式、外微分、曲率テンソルの分解（hh、hv、vv 成分）。
• テンソリアル恒等式および共変微分の性質を用いて、Shen プロセス下での曲率テンソルの変換則を導出する。
• 接続形式 $\omega^i$、$\omega^n_i$、$\omega^{n+i}_j$ 及びその外微分を含む構造方程式を適用する。
• 既知の恒等式 $A_{ijk} = F C_{ijk}$、$L_{ijk} = C_{ijk} - \frac{1}{n+1}(I_i h_{jk} + \cdots)$、$P_{njnl} = 0$ を用いて曲率式を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chern や Cartan などの既知の接続から、マツモトの C-および L-プロセスを用いて Shen 接続を構成できるか？
• RQ2 Shen の C-および L-プロセス下で、どのような曲率不変量が保存されるか？
• RQ3 Shen プロセスによって関連付けられた二つの接続の hh-、hv-、vv-曲率が一致する条件は何か？
• RQ4 特定の曲率成分が一致する場合に、どのような計量的特徴（例：ランドスバーグ、ランダース、リーマン）が生じるか？
• RQ5 新規プロセスは、Finsler 接続の torsion および曲率構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Shen 接続は、Chern 接続から Shen の C-プロセスを経て得られ、この接続への到達経路を新たに確立する。
• Shen の C-プロセス下では、関連する二つの接続の vv-曲率は常に一致する。
• Shen の C-プロセスによって関連する二つの接続の hh-曲率が一致するならば、Finsler 計量 $F$ はランドスバーグ計量である。
• Shen の C-プロセスによって関連する二つの接続の hv-曲率が一致するための必要十分条件は、$F$ がリーマン計量であることである。
• Shen の L-プロセスにおいて、接続が torsion-free のままであるならば、$F$ はランドスバーグ計量であり、このプロセスは torsion-free 接続の集合上で恒等的に作用する。
• Shen の L-プロセスによって関連する二つの接続の hv-曲率が消えるならば、$F$ は一般化されたランドスバーグ計量であり、必ずしもランドスバーグ的ではない可能性がある。