[論文レビュー] Shenfun -- automating the spectral Galerkin method

Mikael Mortensen|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2017

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ひとこと要約

Shenfun は、1 つの非周期的および任意の周期的方向を持つ単純なテンソル積領域における偏微分方程式（PDE）を解くためのスペクトルガレルキン法を自動化する、Python をベースとした高水準のソフトウェアフレームワークである。FEniCS に類似た変分形式インターフェースを採用し、MPI および FFTW を介した効率的な並列計算を可能にし、高い精度とパフォーマンスを達成している。非線形 PDE であるギンツブルグ＝ランドー方程式など、デアリアシングと対称性の保持を伴う線形および非線形 PDE の解法によってその有効性が実証されている。

ABSTRACT

With the shenfun Python module (github.com/spectralDNS/shenfun) an effort is made towards automating the implementation of the spectral Galerkin method for simple tensor product domains, consisting of (currently) one non-periodic and any number of periodic directions. The user interface to shenfun is intentionally made very similar to FEniCS (fenicsproject.org). Partial Differential Equations are represented through weak variational forms and solved using efficient direct solvers where available. MPI decomposition is achieved through the {mpi4py-fft} module (bitbucket.org/mpi4py/mpi4py-fft), and all developed solver may, with no additional effort, be run on supercomputers using thousands of processors. Complete solvers are shown for the linear Poisson and biharmonic problems, as well as the nonlinear and time-dependent Ginzburg-Landau equation.

研究の動機と目的

• 単純な幾何形状における PDE の研究者によるスペクトルガレルキン法の実装を容易化すること。
• FEniCS に類似した高水準で使いやすいインターフェースを提供するが、スペクトル法に特化したものとする。
• MPI および最適化された FFT を用いて、スパコン上で効率的かつスケーラブルな PDE の並列計算を可能にすること。
• デアリアシングを伴う、非線形時間依存ギンツブルグ＝ランドー方程式を含む複雑な PDE の高精度な解法を支援すること。
• スペクトル法における高水準の Python スクリプトと高性能コンピューティングのギャップを埋め、低水準言語の制約を回避すること。

提案手法

• スペクトルガレルキン法は弱変分形式を用いて実装され、PDE は FEniCS に類似た構文で記述される。
• 基底関数（例：チェビシェフ、ルジャンドル、フーリエ）が使用され、弱形式の重み付き内積とともに、グローバルなサポートを持つ。
• パッケージは Numpy を用いてベクトル化演算を実行し、mpi4py-fft を用いて数千プロセッサにわたる MPI 分解を実現する。
• 非線形項の処理およびスペクトル空間におけるアリヤシングの防止のため、パディング付きスペクトル変換（3/2 ルール）が適用される。
• 時間依存問題には 4 階のルンゲ＝クッタ時間積分法が用いられ、デアリヤシングされた非線形項はパディング付き変換によって計算される。
• フレームワークは pyFFTW および FFTW を活用し、Python で低水準の C/Fortran のパフォーマンスに匹敵する高速な FFT を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積領域におけるスペクトルガレルキン法を自動化する高水準の Python インターフェースを設計できるか？
• RQ2 このようなフレームワークは、スパコン上で手作業で最適化された低水準コードと同等のパフォーマンスを達成できるか？
• RQ3 スペクトル法を用いた時間依存非線形 PDE ソルバに、デアリヤシングをどの程度効果的に統合できるか？
• RQ4 異なる FFT アルゴリズムを用いた場合、スペクトル法において対称性を保つ解を信頼性高く計算できるか？
• RQ5 計算効率を損なわせることなく、FEniCS に類似したインターフェースをスペクトル法に適応できる範囲はどの程度か？

主な発見

• Shenfun を用いることで、PDE のスペクトルガレルキンソルバの実装が最小限のコード量で可能となり、数学的定式化に近く表現できる。
• フレームワークは、高精度と対称性の保持を伴って 2D 時間依存ギンツブルグ＝ランドー方程式を正常に解いている。
• 3/2 パディング付き変換によるデアリヤシングは、解の対称性を維持するために不可欠である。これを行わないと、アリヤシングのため対称性が失われる。
• Cython および FFTW を最適化することで、低水準の C++ や Fortran 実装と同等のパフォーマンスを達成している。
• フレームワークは、スパコンの Shaheen II で最大 2048³ メッシュで動作する、spectralDNS プロジェクトにおけるナビエ＝ストークス方程式ソルバの実装にも使用されている。
• 異なる FFTW アルゴリズムは数値的対称性に影響を及ぼすことがあり、スペクトルソルバの実装細部に極めて敏感であることが示された。