[論文レビュー] Sherali - Adams Strikes Back

Ryan O’Donnell, Tselil Schramm|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 44被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、Sherali–Adams線形計画法の階層が、n^{⌈k/2⌉+δ}本の制約を持つランダムなブールk-CSPを、多項式的でないラウンド数を用いて強く反証できることを示している。これは、古典的な期待を超える性能を発揮する。また、スペクトルギャップO(1/√∆)のグラフに対しては、O(log n / log ∆)ラウンドのSherali–Adamsにより、max-cutが50.1%未満であることが証明可能であり、これはLP階層がmax-cutに対して失敗すると考えられてきた信念に反する。

ABSTRACT

Let $G$ be any $n$-vertex graph whose random walk matrix has its nontrivial eigenvalues bounded in magnitude by $1/\sqrtΔ$ (for example, a random graph $G$ of average degree~$Θ(Δ)$ typically has this property). We show that the $\exp\Big(c \frac{\log n}{\log Δ}\Big)$-round Sherali--Adams linear programming hierarchy certifies that the maximum cut in such a~$G$ is at most $50.1\%$ (in fact, at most $ frac12 + 2^{-Ω(c)}$). For example, in random graphs with $n^{1.01}$ edges, $O(1)$ rounds suffice; in random graphs with $n \cdot ext{polylog}(n)$ edges, $n^{O(1/\log \log n)} = n^{o(1)}$ rounds suffice. Our results stand in contrast to the conventional beliefs that linear programming hierarchies perform poorly for \maxcut and other CSPs, and that eigenvalue/SDP methods are needed for effective refutation. Indeed, our results imply that constant-round Sherali--Adams can strongly refute random Boolean $k$-CSP instances with $n^{\lceil k/2 ceil + δ}$ constraints; previously this had only been done with spectral algorithms or the SOS SDP hierarchy.

研究の動機と目的

• Sherali–Adamsのような線形計画法階層がmax-cutや関連するCSPに対して劣悪に動作するとされる従来の信念に挑戦すること。
• ランダムなブールk-CSPのインスタンスに対して、n^{⌈k/2⌉+δ}本の制約を持つ場合に、Sherali–Adamsが強く反証できることを示すこと。
• スペクトルギャップO(1/√∆)のグラフに対しては、O(log n / log ∆)ラウンドのSherali–Adamsがmax-cut ≤ 50.1%を証明できることを示すこと。
• 定数ラウンドのSherali–Adamsが、n^{1.01}本の辺を持つランダムグラフに対して、整数性比が1に近づくことを達成できることを確立すること。
• スペクトル法やSDP法に匹敵する、LP階層がランダムCSPを反証する能力を新たに理論的基盤づけること。

提案手法

• RラウンドのSherali–Adams LP階層を用い、次数Rまでの単項式に対応する変数と制約を追加することで、緩和を厳しくする。
• 特に、ランダムウォーク行列の非自明固有値が|λ| ≤ 1/√∆で有界なスパースなランダムグラフに対して、階層の挙動を分析する。
• 集中不等式とモーメントバウンド（Lemma 5.14を用いて）を適用し、ランダムCSPから導かれる制約系の係数を制御する。
• Bernstein型不等式と尾部バウンドを用いて、制約寄与量|Iα(x)|の絶対値が高確率でo(1)であることを証明する。
• Parsevalの恒等式とℓ1-ℓ2ノルムバウンドを活用し、総目的値と個々の制約寄与量の和との関係を確立する。
• ややスパースな条件（n^{⌈k/2⌉+δ}本の制約）のもとで、R = O(log n / log ∆)ラウンドで十分であり、max-cut ≤ 1/2 + 2^{-Ω(c)}が証明可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sherali–Adams LP階層は、n^{⌈k/2⌉+δ}本の制約を持つランダムなブールk-CSPに対して、強力な反証を達成できるか？
• RQ2 スパースなランダムグラフにおいて、Sherali–Adams階層は古典的LP緩和を上回り、小さなmax-cut値を証明できるか？
• RQ3 ランダムウォーク行列のスペクトル特性（|λ| ≤ 1/√∆）を活用して、強力な反証に必要なSherali–Adamsラウンド数を制限できるか？
• RQ4 定数ラウンドのSherali–Adamsが、n^{1.01}本の辺を持つランダムグラフに対して、整数性比が1に近づくことを達成できるか？
• RQ5 Sherali–Adamsの性能は、ランダムmax-cutインスタンスの反証において、スペクトル法やSDP法と比べてどうなるか？

主な発見

• 平均次数Θ(∆)のランダムグラフに対して、O(log n / log ∆)ラウンドのSherali–Adamsにより、max-cutが50.1%未満であることが証明可能である。
• n^{1.01}本の辺を持つランダムグラフでは、O(1)ラウンドのSherali–Adamsでmax-cutの強力な反証が可能である。
• n · polylog(n)本の辺を持つランダムグラフでは、n^{O(1/log log n)} = n^{o(1)}ラウンドのSherali–Adamsで十分に強力な反証が達成可能である。
• スペクトルギャップO(1/√∆)のグラフに対して、階層は1/2 + 2^{-Ω(c)}の整数性比を達成し、∆が増加するにつれて1/2に近づく。
• Sherali–Adamsは、n^{⌈k/2⌉+δ}本の制約を持つランダムk-CSPを、多項式的でないラウンド数で強く反証でき、これは従来はスペクトル法やSOS SDP法でのみ達成可能であった性能を再現する。
• これらの結果は、LP階層がランダムCSPの反証において、固有値法やSDP法と同等またはそれを上回る性能を発揮できることを示し、長年の仮定に挑戦する。