[論文レビュー] Shift-invariant Spaces with Countably Many Mutually Orthogonal Generators on the Heisenberg group

R. Radha, Saswata Adhikari|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、群フーリエ変換を用いて、ヘイゼンベルク群上での可算個の互いに直交する生成子を持つシフト不変空間を特徴づける。このような系が正規直交基底、ベッセル系列、パーサーヴァルフレーム、リーマンス基底をなすための必要十分条件を確立し、主な結果として、これらの性質が生成子の群フーリエ変換における振る舞いと新たに導入された「条件C」と関連していることを示している。

ABSTRACT

Let $E(\mathscr{A})$ denote the shift-invariant space associated with a countable family $\mathscr{A}$ of functions in $L^{2}(\mathbb{H}^{n})$ with mutually orthogonal generators, where $\mathbb{H}^{n}$ denotes the Heisenberg group. The characterizations for the collection $E(\mathscr{A})$ to be orthonormal, Bessel sequence, Parseval frame and so on are obtained in terms of the group Fourier transform of the Heisenberg group. These results are derived using such type of results which were proved for twisted shift-invariant spaces and characterized in terms of Weyl transform. In the last section of the paper, some results on oblique dual of the left translates of a single function $φ$ is discussed in the context of principal shift-invariant space $V(φ)$.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク群上での、可算個の関数からなる族が生成するシフト不変空間を特徴づけること。
• このような系が正規直交基底、ベッセル系列、パーサーヴァルフレーム、またはリーマンス基底をなすための条件を特定すること。
• ヘイゼンベルク群の文脈において、主なシフト不変空間の斜交双対フレームを調査すること。
• フレームの性質と生成子の群フーリエ変換との間の関係を確立すること。
• 特にコンパクトな台と条件Cの下で、$V(\varphi)$ 内の単一の関数の左平行移動の斜交双対の特徴づけを提供すること。

提案手法

• ヘイゼンベルク群上の群フーリエ変換を用い、$L^2(\mathbb{H}^n)$ の関数をトレースクラス作用素値関数に写像する。
• $L^2(\mathbb{H}^n)$ から $L^2((0,1], \ell^2(\mathbb{Z}, \mathcal{B}_2))$ への写像 $\mathscr{T}$ を導入し、等長的同型写像としての役割を果たす。
• Weyl変換およびその核を用いてねじれシフト不変空間を分析し、著者らの先行研究の結果を活用する。
• 各生成子 $\varphi_j$ に「条件C」を課し、群フーリエ変換構造と整合性を保つようにする。
• 範囲関数 $\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)$ を用いて、$\ell^2(\mathbb{Z}, \mathcal{B}_2)$-値列として、フレーム、リーマンス基底、正規直交系の性質を特徴づける。
• 作用素空間 $\mathcal{B}_2$ 内の $\widehat{\varphi}(\lambda)$ と $\widehat{\tilde{\varphi}}(\lambda)$ の内積を分析することで、斜交双対の必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算族 $\mathscr{A} = \{\varphi_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ の左平行移動の集合 $E(\mathscr{A})$ が $L^2(\mathbb{H}^n)$ 内で正規直交系となるための条件は何か？
• RQ2 $E(\mathscr{A})$ がベッセル系列、パーサーヴァルフレーム、またはリーマンス基底となるのはいつか？ そして、これらはどのように群フーリエ変換を用いて特徴づけられるか？
• RQ3 $\{L_{(2k,l,m)}\tilde{\varphi}\}$ が $\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$ の斜交双対であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 $\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$ が $V(\varphi)$ でフレームをなす場合、$V(\varphi)$ 内に常に斜交双対フレームを構成できるか？
• RQ5 コンパクトな台と「条件C」は、斜交双対の特徴づけをどのように簡略化するか？

主な発見

• 各 $\varphi_j$ が条件Cを満たす限り、系 $E(\mathscr{A})$ が $L^2(\mathbb{H}^n)$ 内で正規直交系であるための必要十分条件は、$\mathrm{a.e.}\ \lambda \in (0,1]$ に対して $\{\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)\}_{j\in\mathbb{N}}$ が $\ell^2(\mathbb{Z}, \mathcal{B}_2)$ 内で正規直交系をなすことである。
• 系 $E(\mathscr{A})$ がベッセル系列であるための必要十分条件は、$\mathrm{a.e.}\ \lambda \in (0,1]$ に対して $\{\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)\}_{j\in\mathbb{N}}$ が $\ell^2(\mathbb{Z}, \mathcal{B}_2)$ 内でベッセル系列であることである。
• 系 $E(\mathscr{A})$ が $V(\mathscr{A})$ に対してパーサーヴァルフレームであるための必要十分条件は、$\mathrm{a.e.}\ \lambda \in \bigcap_{j\in\mathbb{N}} \Omega_{\varphi_j}$ に対して $\{\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)\}_{j\in\mathbb{N}}$ が $J(\lambda)$ に対してパーサーヴァルフレームであることである。
• 系 $E(\mathscr{A})$ が $V(\mathscr{A})$ に対してリーマンス基底（下限 $A$、上限 $B$）であるための必要十分条件は、$\mathrm{a.e.}\ \lambda \in (0,1]$ に対して $\{\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)\}_{j\in\mathbb{N}}$ が $J(\lambda)$ に対してリーマンス基底（下限 $A$、上限 $B$）であることである。
• $\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$ が $V(\varphi)$ でフレームをなすならば、$\tilde{\varphi} \in V(\varphi)$ が存在して、$\{L_{(2k,l,m)}\tilde{\varphi}\}$ が $\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$ の斜交双対フレームをなす。ここで $\tilde{\varphi} = S^{-1}\varphi$ であり、$S$ はフレーム作用素である。
• コンパクトな台を持つ生成子が条件Cを満たす場合、斜交双対条件は簡略化される：$\{L_{(2k,l,m)}\tilde{\varphi}\}$ が $\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$ の斜交双対であるための必要十分条件は、$\langle \varphi, L_{(2k,l,m)}\tilde{\varphi} \rangle = \delta_{k,l,m,0}$ であることである。