[論文レビュー] Shifted Chebyshev polynomials for Solving Three-Dimensional Volterra Integral Equations of the second kind

Doaa Mohamed|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、3次元の2種類目Volterra積分方程式を解くための数値的手法を提案する。解を変数x, y, zにおけるテンソル積のシフトされたチェビシェフ基底関数の有限級数で近似し、ガウス＝チェビシェフ＝ロバット点でコロケーションを行うことで、積分方程式を代数方程式の連立に変換する。線形および非線形のテスト事例において、高い精度で正確な解が得られた。

ABSTRACT

In this paper, an efficient method is presented for solving three dimensional Volterra integral equations of the second kind with continuous kernel. Shifted Chebyshev polynomial is applied to approximate a solution for these integral equations. This method transforms the integral equation to algebraic equations with unknown Chebyshev coefficients. Numerical results are calculated and the estimated error in each example is computed using Maple 17.

研究の動機と目的

• 連続核を有する3次元の2種類目Volterra積分方程式を効率的に解く数値的手法の開発を目的とする。
• 応用数学および工学分野における多次元積分方程式の解析的解を得ることが困難であるという課題を克服することを目的とする。
• 未知の解の高精度近似のため、シフトされたチェビシェフ多項式をスペクトル法として用いることを目的とする。
• 既知の正確な解を有する線形および非線形のテスト問題に対して、手法の妥当性を検証することを目的とする。
• 誤差解析を伴う数値例を通じて、手法の収束性および精度を示すこと。

提案手法

• 未知の解 $ u(x,y,z) $ を、変数 $ x $, $ y $, $ z $ におけるシフトされたチェビシェフ多項式の三重有限級数として近似する。
• 領域を離散化し、残差方程式をこれらの点でゼロに保つために、ガウス＝チェビシェフ＝ロバットコロケーション点を用いる。
• 多項式近似を元の積分方程式に代入し、カーネルおよび基底関数の積分を含む残差方程式を導出する。
• 残差方程式を、未知のチェビシェフ係数 $ a_{i,j,k} $ を含む大規模な線形または非線形代数方程式系に変換する。
• 得られた方程式系を、標準的な線形代数ソルバーを用いて数値的に解き、係数を決定する。
• 計算された係数と基底関数を用いて、近似解を再構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シフトされたチェビシェフ多項式は、3次元の2種類目Volterra積分方程式の解を効果的に近似できるか？
• RQ2 線形および非線形の3次元Volterra積分方程式に対して、シフトされたチェビシェフ多項式に基づくコロケーション法の精度はどの程度か？
• RQ3 異なるテスト問題において、提案手法の収束性および誤差の大きさはいかがなっているか？
• RQ4 特に多項式または指数関数的正確解を有する場合に、正確な解を再現できるか？
• RQ5 多項式近似の次数 $ N $ が増加するに従い、計算上の精度はどのように変化するか？

主な発見

• 例3.1において $ N=1 $ の場合、解 $ u(x,y,z) = x+y+z $ が正確に回復され、すべての計算された係数が解析的値と一致した。
• 例3.2において $ N=2 $ の場合、解 $ u(x,y,z) = x^2y + yz^2 + xyz $ が正確に再現され、高い精度が確認された。
• 非線形の例3.3では、$ N=1 $ で解 $ u(x,y,z) = xyz $ が正確に得られ、非線形カーネルに対してもロバストであることが示された。
• 例3.4では、最大絶対誤差が $ (0.1,0.1,0.1) $ で $ 2.299 \times 10^{-4} $ であり、$ (0.001,0.001,0.001) $ では $ 2.99 \times 10^{-8} $ に減少し、細分化に伴う収束が確認された。
• 例3.5では、絶対誤差が $ (0.1,0.1,0.1) $ で $ 0.033 $ から $ (0.001,0.001,0.001) $ で $ 0.00037 $ に減少し、良好な収束性と安定性が示された。
• 正確な解が既知の問題に対して、本手法は一貫してマシン精度に達し、信頼性および効率性が検証された。