[論文レビュー] Shifted convolution of divisor function $d_3$ and Ramanujan $ au$ function

Ritabrata Munshi|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヴォロノイ和公式と精錬された円周法（ジュチラの手法を用いる）を用いて、三重除数関数 $d_3(n)$ と正規化されたラマヌジャンの $\tau$-関数を含むシフトされた畳み込み和に対する新しいハイブリッド評価を確立する。主な結果として、ピットの評価を改善し、$r \ll x^{1/10}$ の範囲で $\Psi(\Delta, x) \ll_r x^{34/35 + \varepsilon}$ を得る。これはスペクトル理論とデレーヌの評価を用いた特徴的和の推定に基づく。

ABSTRACT

We study the shifted convolution sum of the divisor function $d_3$ and the Ramanujan $ au$ function.

研究の動機と目的

• シフト畳み込み和 $\Psi(f, x) = \sum_{n \leq x} d_3(n) \tau(rn - 1)$ の現在知られている最良の評価を改善すること。ここで $d_3(n)$ は三重除数関数、$\tau(n)$ はラマヌジャンの $\tau$-関数である。
• ピットの結果を $x^{71/72 + \varepsilon}$ から、より強い評価 $x^{34/35 + \varepsilon}$ に拡張すること。$r \ll x^{1/10}$ の広い範囲で実現する。この目的を達成するために、高度な解析的整数論的手法を用いる。
• 平滑化和 $D = \sum_n d_3(n) \tau_0(rn - 1) W(n/X)$ を、ジュチラの近似とヴォロノイ和公式を用いた精錬された円周法により、鋭い推定を確立すること。

提案手法

• $\tau_0(n)$ に対してヴォロノイ和公式を適用し、ベッセル関数とクローバー和を用いて、シフト畳み込みにおける $m$ に関する和を変換する。
• 三重除数構造を含む特徴的和を含む、$d_3(n)$ のねじれヴォロノイ公式を適用し、ベッセル積分と特徴的和の形で和を表現する。
• 平滑化近似 $\tilde{I}_{Q,\delta}(x)$ を用いたジュチラの円周法を用い、$[0,1]$ の特性関数を置き換えることで、$L^2$-推定を用いた誤差制御を可能にする。
• 主項 $\tilde{D}$ を零周波数部と非零周波数部に分解し、後者は特徴的和 $S^\dagger(m,n;q)$ に支配される。
• カウチ・シュバルツとポincare和公式を $n$-和に適用し、$T(m,n;q_1,\tilde{q}_1,q_2)$ を含むハイブリッド指数和に変換する。この和はデレーヌの評価とワイエル推定を用いて評価される。
• 誤差項のバランスを最適化するための二重分解を調整し、$Q_1 = rX^{1/10 + \delta}$、$Q_2 = X^{2/5}$ を選び、$\delta = \frac{1}{35} - \frac{2}{7} \frac{\log r}{\log X}$ とすることで誤差項を一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $r \ll x^{1/24}$ の範囲で、ピットの $x^{71/72 + \varepsilon}$ よりも鋭い評価 $x^{\kappa + \varepsilon}$ を得られるか？
• RQ2 非自明な評価 $x^{\kappa + \varepsilon}$（$\kappa < 1$）を得られる $r$ の最適な範囲は何か？
• RQ3 ヴォロノイ和公式と特徴的和のキャンセルを組み合わせた、$d_3$ と $\tau$ のハイブリッド畳み込みを扱うために、円周法をどのように精錬できるか？
• RQ4 円周法の近似と平滑化による誤差項をどのようにバランスさせれば、最終的な評価の指数を最適化できるか？

主な発見

• 本稿は、$r \ll x^{1/10}$ の範囲で $\Psi(\Delta, x) \ll_r x^{34/35 + \varepsilon}$ を確立し、ピットの $x^{71/72 + \varepsilon}$ よりも改善している。
• 主項 $\tilde{D}$ は、$Q_1 = rX^{1/10 + \delta}$、$Q_2 = X^{2/5}$ を用いたハイブリッド円周法により推定され、誤差項のバランスが最適化されている。
• 円周法の近似誤差は $O(x^{1 - \delta + \varepsilon})$ であり、$H = x^\delta$ のとき平滑化誤差 $O(x^{1+\varepsilon}/H)$ と一致する。これにより $\delta = \frac{1}{35} - \frac{2}{7} \frac{\log r}{\log X}$ が得られる。
• 特徴的和 $T(m,n;q_1,\tilde{q}_1,q_2)$ はデレーヌの評価とワイエル推定を用いて評価され、$q_1 \neq \tilde{q}_1$ のとき $\ll q_1^{3/2} \tilde{q}_1^{3/2} q_2^{5/2} (n,q_2)^{1/2}$、$q_1 = \tilde{q}_1$ のとき $\ll q_1^{5/2} q_2^{5/2} \sqrt{(n',q_1q_2)}$ が得られる。
• 最終的な評価 $\tilde{D}_1(\alpha) \ll \sqrt{N} Q_2 M / Q^5 \cdot (\sqrt{H} Q_1^{5/4} Q_2^{5/4} + \sqrt{N} Q_2) \sqrt{H} X^{1+\varepsilon}$ は、$Q_2 = X^{2/5}$、$Q_1 = rX^{1/10 + \delta}$ のとき最小化され、提示された指数が得られる。
• 結果は $r \ll x^{4/5}$ に対して一様に成り立ち、選択されたパrameterのもとで非互いに素な $n$-項の誤差は許容可能であることが示された。