[論文レビュー] Shifted critical threshold in the loop $O(n)$ model at arbitrary small $n$

Lorenzo Taggi|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}^d$（$d \geq 2$）およびヘキサゴナル格子上におけるループ $O(n)$ モデルにおける臨界閾値 $\lambda_c(n)$ が、$n > 0$ で、たとえ非常に小さい場合であっても、相互作用によるループ間の反発のため、$1/\mu$ より厳密に大きいことを確立している。$\lambda_c(n) \geq 1/\mu + c_0 n + O(n^2)$（$c_0 > 0$）を示しており、自己回避歩行（$n=0$）と比較して、臨界点がシフトしていることを示している。

ABSTRACT

In the loop $O(n)$ model a collection of mutually-disjoint self-avoiding loops is drawn at random on a finite domain of a lattice with probability proportional to $${λ^{\# \mbox{edges}} n^{\# \mbox{loops}},}$$ where $λ, n \in [0, \infty)$. Let $μ$ be the connective constant of the lattice and, for any $n \in [0, \infty)$, let $λ_c(n)$ be the largest value of $λ$ such that the loop length admits uniformly bounded exponential moments. It is not difficult to prove that $λ_c(n) =1/μ$ when $n=0$ (in this case the model corresponds to the self-avoiding walk) and that for any $n \geq 0$, $λ_c(n) \geq 1/μ$. In this note we prove that, \begin{align*} λ_c(n) & > 1/μ\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \mbox{whenever $n >0$}, \\ λ_c(n) & \geq 1/μ\, + \, c_0 \, n \, + \, O(n^2), \end{align*} on $\mathbb{Z}^d$, with $d \geq 2$, and on the hexagonal lattice, where $c_0>0$. This means that, when $n$ is positive (even arbitrarily small), as a consequence of the mutual repulsion between the loops, a phase transition can only occur at a strictly larger critical threshold than in the self-avoiding walk.

研究の動機と目的

• ループ $O(n)$ モデルにおける臨界閾値 $\u005clambda_c(n)$ が、$n > 0$ であっても、たとえ非常に小さい場合であっても $1/\mu$ を厳密に超えるかどうかを特定すること。
• 自己回避歩行（$n=0$）と比較して、ループ間の相互反発がモデルにおける相転移に与える影響を分析すること。
• 確率論的および組合せ論的技法を用いて、$n > 0$ が非常に小さい場合に、$1/\mu$ よりも厳密に大きい下界 $\u005clambda_c(n)$ を厳密に確立すること。
• $n=0$ や大きな $n$ の既知の結果を超えて、$\mathbb{Z}^d$ およびヘキサゴナル格子上におけるループ $O(n)$ モデルの相図の理解を拡張すること。

提案手法

• 有限部分グラフ $G$ 上のループ配置 $\kappa$ を用いて定義されるループ $O(n)$ モデルの測度 $\lambda^{o_G(\kappa)} n^{L_G(\kappa)} / Z_{\lambda,n}(G)$ を用いる。
• 自己回避多角形の非後退歩行の密度を制御するために、ケステンのパターン定理を適用する。
• 非後退歩行の密度が高いか低いかに応じてループ配置を分解し、高密度部分には $SAP_x(N,a'N,P')$、低密度部分には $SAP_x(N) \setminus SAP_x(N,a'N,P')$ を用いる。
• ケステンの定理からの指数的減衰推定と、$Z_{\lambda,n}(G \setminus \mathcal{P}) / Z_{\lambda,n}(G)$ の比に基づく新しい境界を組み合わせることで、原点が長さ $\ell$ を超えるループに属する確率の上界を導出する。
• 臨界閾値の方程式 $\lambda \mu = (1 + \lambda^4 n)^{a'}$ を $n=0$ の周りでテイラー展開し、$\lambda_c(n)$ の下界における一次項 $c_0 n$ を導出する。
• ケステンの定理から得られる第二の閾値 $\lambda_1'$ を用いて、$\lambda_1(n) > 1/\mu$ を示し、$\lambda_c(n) > 1/\mu$ をすべての $n > 0$ に対して示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ $O(n)$ モデルにおける臨界閾値 $\u005clambda_c(n)$ が、$n > 0$ であっても、たとえ非常に小さい場合であっても $1/\mu$ を厳密に超えるか。
• RQ2 $O(n)$ モデルにおけるループ間の相互反発は、自己回避歩行（$n=0$）と比較して、相転移にどのように影響を与えるか。
• RQ3 小規模な $n > 0$ に対して、形式 $\u005clambda_c(n) \geq 1/\mu + c_0 n + O(n^2)$ の定量的下界を厳密に確立できるか。
• RQ4 ループ密度と非後退構造が、ループ長確率の指数的減衰を制御する役割を果たすか。

主な発見

• すべての $n > 0$ に対して、臨界閾値 $\u005clambda_c(n)$ は $1/\mu$ よりも厳密に大きいことが示され、自己回避歩行（$n=0$）と比較して、相転移が明確にシフトしていることが証明された。
• 小規模な $n > 0$ に対して、下界 $\u005clambda_c(n) \geq 1/\mu + \frac{a'}{\mu^5} n + O(n^2)$ が確立され、$a' > 0$ は格子およびパラメータの選択に依存する。
• 臨界閾値のシフトは、長大なループの形成を抑制するループ同士の反発に起因しており、巨視的ループの出現が遅れる。
• 高密度および低密度の非後退歩行セグメントにループ配置を分解し、それぞれに異なる境界を適用することで、証明が成り立っている。
• ケステンのパターン定理と、分割関数の比に関する新しい境界を用いることで、$n > 0$ が小さい状況下での長大なループの確率を制御できた。
• 結果は、$d \geq 2$ の $\mathbb{Z}^d$ およびヘキサゴナル格子の両方で成り立つため、小規模な $n > 0$ におけるシフトされた閾値の普遍性が確認された。