[論文レビュー] Shifted Jacobi polynomials and Delannoy numbers

Gábor Hetyei|ArXiv.org|Sep 30, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、シフトされたジャコビ多項式と重み付き格子路の間の組合せ的関係を確立し、中心デラヌワ数を一般化する重み付きデラヌワ数が、パラメータ $(\alpha, 0)$ を持つシフトされたジャコビ多項式で表現できることを示している。主な結果として、古典的恒等式 $d_{n,n} = P_n(3)$ が、すべての整数 $α \geq -n$ に対して $d_{n+\alpha,n} = P_n^{(\alpha,0)}(3)$ に拡張され、これにより非負整数パラメータを持つジャコビ多項式の直交性に対して、組合せ的証明が与えられ、ルーク多項式理論と結びつけられている。

ABSTRACT

We express a weighted generalization of the Delannoy numbers in terms of shifted Jacobi polynomials. A specialization of our formulas extends a relation between the central Delannoy numbers and Legendre polynomials, observed over 50 years ago, to all Delannoy numbers and certain Jacobi polynomials. Another specialization provides a weighted lattice path enumeration model for shifted Jacobi polynomials, we use this to present a new combinatorial proof of the orthogonality of Jacobi polynomials with natural number parameters. The proof relates the orthogonality of these polynomials to the orthogonality of (generalized) Laguerre polynomials, as they arise in the theory of rook polynomials. We provide a combinatorial proof for the orthogonality of certain Romanovski-Jacobi polynomials with zero first parameter and negative integer second parameter, considered as an initial segment of the list of similarly transformed Jacobi polynomials with the same parameters. We observe that for an odd second parameter one more polynomial may be added to this finite orthogonal polynomial sequence than what was predicted by a classical result of Askey and Romanovski. The remaining transformed Jacobi polynomials in the sequence are either equal to the already listed Romanovski-Jacobi polynomials or monomial multiples of similarly transformed Jacobi polynomials with a positive second parameter. We provide expressions for an analogous weighted generalization of the Schröder numbers in terms of the Jacobi polynomials, and use this model, together with a result of Mansour and Sun, to express the Narayana polynomials in terms of shifted Jacobi polynomials.

研究の動機と目的

• 中心デラヌワ数とルジャンドル多項式を結ぶ古典的恒等式 $d_{n,n} = P_n(3)$ を、シフトされたジャコビ多項式を用いてすべてのデラヌワ数へ一般化すること。
• 非負整数パラメータを持つシフトされたジャコビ多項式の組合せ的解釈を与える、重み付き格子路の列挙モデルを構築すること。
• 格子路の重みとルーク多項式理論を用いて、$\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ であるジャコビ多項式 $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ の直交性に対する新しい組合せ的証明を確立すること。
• 特に $P_n^{(0,-\beta)}(x)$ のような負のパラメータを持つジャコビ多項式の構造を分析し、奇数の $\beta$ に対して、古典的 Askey-Romanovski の境界を超えて直交列を拡張できることを示すこと。
• モデルをシュレーディンガー路へ拡張し、Mansour と Sun の結果を用いてナラヤナ多項式をシフトされたジャコビ多項式の線形結合として表現すること。

提案手法

• 東、北、およびノース・イーストの各ステップに重み $u$、$v$、$w$ を割り当てた重み付き格子路モデルを導入し、Fray と Roselle の枠組みを一般化する。
• $(0,0)$ から $(m,n)$ へのデラヌワ路の総重みを、$x = 2x - 1$ の代入によって、シフトされたジャコビ多項式 $P_n^{(\alpha,0)}(x)$ として表現する。
• 格子路モデルを用いて、$\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ である $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ の直交性を組合せ的に証明する。重み付き積分を既知のルーク多項式恒等式に還元することで達成する。
• $\{P_n^{(0,-\beta)}(x)\}_{n \geq 0}$ の列を分析し、最初の $\lfloor(\beta-1)/2\rfloor$ 項が対称的直交列を形成することを示す。奇数の $\beta$ に対しては、この列が1つ分の項を追加して拡張可能であることを示す。
• モデルをシュレーディンガー路へ拡張し、重み付きシュレーディンガー数の一般化を定義し、$x=3$ における代入によりジャコビ多項式と関係づける。
• 得られた式と Mansour と Sun の結果を組み合わせ、ナラヤナ多項式をシフトされたジャコビ多項式の線形結合として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的恒等式 $d_{n,n} = P_n(3)$ は、ジャコビ多項式を用いて中心デラヌワ数を超えて一般化可能か？
• RQ2 形式的パラメータではなく、組合せ的に意味のある重みを持つ格子路モデルを用いて、非負整数パラメータを持つジャコビ多項式の直交性を証明可能か？
• RQ3 負の整数 $\beta$ を持つジャコビ多項式 $P_n^{(0,-\beta)}(x)$ は有限直交列を形成するか？ また、古典的 Askey-Romanovski の境界を超えてこの列を拡張可能か？
• RQ4 重み付きシュレーディンガー数に組合せ的解釈を与え、それが他の組合せ的多項式（例：ナラヤナ多項式）の表現に利用可能か？
• RQ5 重み付き格子路とルーク多項式の関係をさらに深めることで、直交多項式恒等式の直接的な組合せ的解釈を得られるか？

主な発見

• 恒等式 $d_{n,n} = P_n(3)$ が、すべての整数 $\alpha \geq -n$ に対して $d_{n+\alpha,n} = P_n^{(\alpha,0)}(3)$ に一般化され、デラヌワ数とジャコビ多項式の間の体系的関係が示された。
• パラメータ $\alpha$ と $\beta$ が実際にパスの特徴を数える重み付き格子路モデルを用いて、$\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ である $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ の直交性に対する新しい組合せ的証明が提供された。
• $P_n^{(0,-\beta)}(x)$ に対して、最初の $\lfloor(\beta-1)/2\rfloor$ 項が対称的直交列を形成する。奇数の $\beta$ に対しては、この列が1つ分の項を追加して拡張可能であり、古典的 Askey-Romanovski の予測に反する。
• $n \geq \beta$ である $P_n^{(0,-\beta)}(x)$ の残りの多項式は、$P_n^{(0,\beta)}(x)$ の単項式倍であることが示され、負のパラメータと正のパラメータの間の双対性が明らかになった。
• 重み付きシュレーディンガー数は、$x=3$ における代入によってジャコビ多項式として表現され、これによりシフトされたルジャンドル多項式の反復積分の公式が得られた。
• Mansour と Sun の結果を用いて、ナラヤナ多項式がシフトされたジャコビ多項式の線形結合として表現され、新しい代数的・組合せ的関係が確立された。