[論文レビュー] Shifted Schur functions II. Binomial formula for characters of classical groups and applications

Andreĭ Okounkov, Grigori Olshanski|ArXiv.org|Dec 17, 1996

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ひとこと要約

本稿では、シフトされたシュール関数を用いて、古典的リー群（直交群およびシンプレクティック群）のキャラクタに二項式展開を確立する。普遍包あらゆる代数の中心における正規基底と、その対応する対称代数の類似物を、G-不変な特別な対称化写像を介して導入する。主な貢献は、シフトされたシュール多項式を用いたキャラクタのテイラー型展開であり、固有値は階乗シュール関数で与えられ、特定の二重コセット上の球面関数が、変数の自乗に関するシュール多項式に比例することの証明である。

ABSTRACT

Let G be any of the complex classical groups GL(n), SO(2n+1), Sp(2n), O(2n), let g denote the Lie algebra of G, and let Z(g) denote the subalgebra of G-invariants in the universal enveloping algebra U(g). We derive a Taylor-type expansion for finite-dimensional characters of G (binomial formula) and use it to specify a distinguished linear basis in Z(g). The eigenvalues of the basis elements in highest weight g-modules are certain shifted (or factorial) analogs of Schur functions. We also study an associated homogeneous basis in I(g), the subalgebra of G-invariants in the symmetric algebra S(g). Finally, we show that the both bases are related by a G-equivariant linear isomorphism σ: I(g) o Z(g), called the special symmetrization.

研究の動機と目的

• GL(n) のキャラクタに対する二項式展開を、SO(2n+1)、Sp(2n)、O(2n) の古典的群へ拡張すること。
• 古典的リー代数 g に対して、普遍包あらゆる代数 U(g) の中心 Z(g) における正規基底を構成すること。
• 不変部分代数 I(g) ⊂ S(g) における斉次基底を定義し、G-不変同型写像を介して Z(g) と関連付けること。
• 先頭項を保存し、基底元 Tμ を Tμ* に写す G-不変同型写像 σ: I(g) → Z(g) を確立すること。
• GL(2n,C) 内の (G2, G1)-二重コセット上での特定の球面関数が、x_i^4 におけるシュール多項式に比例することを示すこと。

提案手法

• アイデンティティの近傍におけるキャラクタ χλ(z) のテイラー型展開を、シフトされたシュール関数 t*μ(λ) と斉次成分 tμ(x) の積の和として導出する。
• 最高重み表現 Vλ における基底元 Tμ* ∈ Z(g) の固有値 t*μ(λ) を定義し、λ ≠ μ かつ |λ| ≤ |μ| のときには消えることにより特徴づける。
• t*μ(λ) の最高次成分 tμ(x) を、シュール多項式 sμ(x²₁,…,x²ₙ) として特定する。
• 自然同型 gr Z(g) ≅ I(g) における {Tμ*} の関連付き次数像として、I(g) 内の斉次基底 {Tμ} を構成する。
• S(g) から U(g) への特別な対称化 σ: S(g) → U(g) を、G-不変な線形同型として定義し、Tμ を Tμ* に写し、先頭項を保存する。
• 文献 [O2] の明示的公式を用いて、Tμ* = σ(Tμ) を g の生成元の言いかえで表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO(2n+1,C)、Sp(2n,C)、O(2n,C) の有限次元表現のキャラクタは、アイデンティティの近傍でどのようにテイラー型級数に展開できるか？
• RQ2 古典的リー代数の普遍包あらゆる代数の中心 Z(g) における正規基底とは何か？ そしてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 不変部分代数 I(g) ⊂ S(g) 内の斉次基底は、Z(g) 内の基底とどのように関係しているか？
• RQ4 G-不変同型写像 σ: I(g) → Z(g) の性質は何か？ そして特別な対称化とどのように関連しているか？
• RQ5 GL(2n,C) 内の (G2, G1)-二重コセット上での球面関数はシュール多項式と関係しているか？

主な発見

• キャラクタ χλ(z) は二項展開を満たす：χλ(z)/χλ(1) = ∑μ t*μ(λ) tμ(x) / c±(n,μ)，ここで x_i = z_i^{1/2} - z_i^{-1/2} である。
• Vλ 内の Tμ* ∈ Z(g) の固有値は、シフトされたシュール関数 t*μ(λ) で与えられ、支配順序において λ ≥ μ でない限り消える。
• t*μ(λ) の最高次成分はシュール多項式 sμ(x²₁,…,x²ₙ) に一致する。
• 特別な対称化 σ: I(g) → Z(g) は、G-不変同型写像であり、斉次基底 Tμ を正規基底 Tμ* に写す。
• 球面関数 φμ(g) = ⟨V_{2μ∪2μ|2n}(g)ξ, η*⟩ は、二重コセットの適切なパrametrization の下で、シュール多項式 sμ(x₁⁴,…,xₙ⁴) に比例する。
• 対称行列（sp(2n,C)* と同一視される）上の双球面関数 ψμ は、I(sp(2n,C)) 内の基底元 Tμ に比例する。