[論文レビュー] Shimura varieties with $Γ_1(p)$-level via Hecke algebra isomorphisms: the Drinfeld case

Thomas J. Haines, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|May 14, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$p$ における $\Gamma_1(p)$-レベル構造をもつドリンフェルト型シムーラ多様体の近くのサイクルにおける半単純レフシェッツ数のテスト関数を、ヘッケ代数の同型を用いて決定する。これらのテスト関数がヘッケ代数において中心的であることを証明し、アコベ・ウォーク記述とバーナイン関数の台を用いて明示的に計算することで、それらが正確に可解集合 $\mathrm{Adm}(\mu)$ に含まれることを示している。

ABSTRACT

We study the local factor at p of the semi-simple zeta function of a Shimura variety of Drinfeld type for a level structure given at p by the pro-unipotent radical of an Iwahori subgroup. Our method is an adaptation to this case of the Langlands-Kottwitz counting method. We use Hecke algebra isomorphisms to determine the test functions at p.

研究の動機と目的

• ドリンフェルト型シムーラ多様体の近くのサイクルに関連するヘッケ代数におけるテスト関数を、$p$ における $\Gamma_1(p)$-レベル構造に関して特定すること。
• ヘッケ代数の同型を用いて、ヘッケ代数 $\mathcal{H}(G(L_r), K_{p^r})$ 内でこれらのテスト関数が中心的であることを確立すること。
• バーナイン関数とアコベ・ウォーク記述を用いて、テスト関数を明示的に計算すること。
• テスト関数 $z_\mu$ の台が正確に可解集合 $\mathrm{Adm}(\mu)$ に一致することを示すこと。

提案手法

• ラングランズ＝コットヴィッツの数え上げ法を、$\Gamma_1(p)$-レベル構造をもつドリンフェルトの場合に適応する。
• ゴールドスタイン、モリス、ローチによるヘッケ代数の同型を用い、これらの同型の下でのテスト関数の像を分析する。
• アフィン根超平面に関する位置関係に基づいて符号 $\varepsilon_\nu = \pm 1$ を決定し、$\mathrm{Adm}(\mu)$ のアコベ・ウォークを定義する。
• A. ラムの方向性を備えたアコベ・ウォーク理論を用い、バーナイン関数 $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$ を記述する。
• $t_\lambda = s_{i_1} \cdots s_{i_k} \tau$ の簡約表現を用い、$\lambda \in W\mu$ に関する $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$ の和として $\mathrm{Bernstein}$ 関数 $z_\mu$ を表現する。
• アフィン根超平面からの相対的位置に基づく符号 $\varepsilon_\nu = \pm 1$ を決定し、$\Theta^\mathcal{C}_\lambda$ のアコベ・ウォークを定義する。
• アコベ・ウォーク記述を用いて $z_\mu$ の台が $\mathrm{Adm}(\mu)$ に含まれることを証明し、非負係数の線形結合におけるキャンセルが生じないことを示すことにより、等号を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト型シムーラ多様体の $p$ における $\Gamma_1(p)$-レベル構造をもつ場合、ヘッケ代数 $\mathcal{H}(G(L_r), K_{p^r})$ 内で近くのサイクルのテスト関数 $\phi_r = \phi_r(R\Psi)$ の明示的形は何か？
• RQ2 このテスト関数がヘッケ代数において中心的であるのはなぜか？ そして、ヘッケ代数の同型を用いてその中心性をどのように確立できるか？
• RQ3 バーナイン関数 $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$ のアコベ・ウォーク記述は、$z_\mu$ の構造にどのように寄与するか？
• RQ4 バーナイン関数 $z_\mu$ の正確な台は何か？ そして、可解集合 $\mathrm{Adm}(\mu)$ とどのように関係するか？
• RQ5 テスト関数 $\phi_r$ は $\lambda \in W\mu$ の和として $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$ の和として表現可能であり、かつキャンセルが生じない表現が得られるか？

主な発見

• テスト関数 $\phi_r$ がヘッケ代数 $\mathcal{H}(G(L_r), K_{p^r})$ 内で中心的であることが、ヘッケ代数の同型を用いて示された。
• テスト関数 $\phi_r$ は、双対最小スル・コアラクタ $\mu^*$ に関連するバーナイン関数 $z_{\mu^*}$ として特定され、ヘッケ代数の中心に属する。
• バーナイン関数 $z_\mu$ の台が正確に可解集合 $\mathrm{Adm}(\mu)$ に一致することが証明され、$\lambda \in W\mu$ に関する和においてキャンセルが生じない。
• $t_\lambda$ の簡約表現を用いたアコベ・ウォーク記述により、$\Theta^\mathcal{C}_\lambda$ の具体的な実現が得られ、その和は非負係数で $z_\mu$ を与える。
• 中心性は関係式 $T_v \Theta_\lambda T_v^{-1} = \Theta^{\mathcal{C}}_{v\lambda}$ を用いて確立され、$z_\mu^\mathcal{C} = T_v^{-1} z_\mu T_v = z_\mu$ が成り立つことから不変性が確認される。
• この構成により、テスト関数 $\phi_r$ がウェイルチャネルの選択に依存せず、ヘッケ代数の中心の元として正しく定義されていることが確認された。