[論文レビュー] Shintani cocycles and vanishing order of $p$-adic Hecke $L$-series at $s=0$

Michael Spieß|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Shintaniコサイクルを用いて、$p$-進$L$-級数$L_p(\chi,s)$のコhomologicalな構成を確立し、$s=0$におけるその零点の位数が、$F$の$p$上での各素点でHeckeキャラクターチャー$\chi$が自明であるような場所の数以上であることを証明する。この手法はHillのShintaniコサイクルと、先行研究からのコhomological枠組みを活用し、自明零点を分析することで、Grossの予想（$p$-進$L$-関数の零点の位数に関するもの）のより初等的な証明を提供する。

ABSTRACT

Let $χ$ be a Hecke character of finite order of a totally real number field $F$. By using Hill's Shintani cocyle we provide a cohomological construction of the $p$-adic $L$-series $L_p(χ, s)$ associated to $χ$. This is used to show that $L_p(χ, s)$ has a trivial zero at $s=0$ of order at least equal to the number of places of $F$ above $p$ where the local component of $χ$ is trivial.

研究の動機と目的

• 全実体$F$上の有限位数のHeckeキャラクター$\chi$に関連する$p$-進$L$-級数$L_p(\chi,s)$のコhomologicalな構成を提供すること。
• $L_p(\chi,s)$の$s=0$における零点の位数が、$F$の$p$上での各素点$\mathfrak{p}$で局所成分$\chi_\mathfrak{p}$が自明であるような場所の数以上であることを証明すること。
• 先行研究のコhomological枠組みを、Heckeキャラクターの$p$-進$L$-関数へと拡張し、Shintaniコサイクルを用いて$p$-進測度をコhomology類へと上げることで、$p$-進$L$-関数の構成を可能にすること。
• Iwasawa理論に依存しない、Grossの$p$-進$L$-関数の自明零点に関する予想のより初等的な証明を提供すること。

提案手法

• HillのShintaniコサイクルを、全正単位群$F^*_+$上の$(d-1)$-コサイクルとして、$\mathbb{R}^d_+$内の有理コーンの特性関数のモジュール値にとる。
• $p$-進測度$\mu_\chi$をShintaniコサイクルを介して上昇させることで、$H^{d-1}(F^*_+, \mathcal{D}^b)$内に測度値コhomology類$\kappa_\chi$を構成する。
• [16]のコhomological枠組みを適用し、測度の$\Gamma$-変換と$p$-進$L$-関数の零点の位数との関係を、コhomology的拡張性質に基づいて関係づける。
• Twisted $L$-値の$p$-整数性と$p$-進的挙動の制御のため、$p$に割り切れない補助素点$\mathfrak{q}$を導入するCassou-Noguffsのテクニックを用いる。
• 群コhomologyにおけるカップ積および双対性ペアリングを用い、Shintani-Hilbertペアリングを通じてコhomology類$\kappa_{\chi,\mathfrak{q}}$と$L$-関数の特別値を関連付ける。
• Colmezの結果を用いて、ShintaniコサイクルとShintani分解との関係を確立し、幾何的データからコhomology類を構成可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全実体$F$上の有限位数のHeckeキャラクター$\chi$に対して、$p$-進$L$-級数$L_p(\chi,s)$の$s=0$における正確な零点の位数は何か？
• RQ2 複数の$p$上での素点で局所成分が自明である場合に、$p$-進$L$-関数の自明零点現象を、コhomology的に説明できるか？
• RQ3 $p$-進$L$-級数$L_p(\chi,s)$は、$p$-進測度値コhomology類からどのように構成できるか？また、その特別値の構造に何を示唆するか？
• RQ4 先行研究[16]のコhomological枠組みを、モジュラー形式や楕円曲線に限らない、Heckeキャラクターの$p$-進$L$-関数へとどの程度拡張できるか？
• RQ5 Shintaniコサイクルの使用は、Iwasawa理論に基づく証明に代わる、より初等的かつ幾何的な$p$-進$L$-関数の零点の位数に関する代替証明を提供するか？

主な発見

• $L_p(\chi,s)$の$s=0$における零点の位数は、$F$の$p$上での各素点$\mathfrak{p}$で局所成分$\chi_\mathfrak{p}$が自明であるような場所の数以上である。
• Shintaniコサイクルによるコhomologicalな構成により、$p$-進$L$-級数は測度値コhomology類$\kappa_\chi$の$\Gamma$-変換として実現可能であり、これにより零点の位数の分析が可能になる。
• 証明により、$\operatorname{ord}_{s=0}L_p(\chi,s) \geq r$（$r$は$\chi_\mathfrak{p}$が自明な$p$-素点の数）が示され、Grossの予想がこの設定で確認された。
• この手法は、Iwasawa理論の主予想に依存しない、より初等的な代替証明を提供する。
• Cassou-Noguffsの$p$-整数性テクニックと整合的であり、Twisted $L$-値が常に$p$-整数のままであり、コhomologyにおける双対性ペアリングの使用が可能になる。
• 主な技術的ステップは、$p$-進測度$\mu_\chi$をShintaniコサイクルを用いてコhomology類$\kappa_{\chi,\mathfrak{q}}$へと上昇させることであり、これにより$s=0$における$p$-進$L$-関数の挙動が制御される。