[論文レビュー] Short-circuit logic

J.A. Bergstra, Alban Ponse+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ホアの条件的結合子に基づく短絡論理の形式的枠組みを導入し、評価における副作用をモデル化する論理の階層を確立する。自由短絡論理（FSCL）および記憶短絡論理（MSCL）の公理的体系を提示し、静的短絡論理（SSCL）—順序付き命題論理に非可換かつ結合を含むバージョン—の完全性を証明する。

ABSTRACT

Short-circuit evaluation denotes the semantics of propositional connectives in which the second argument is evaluated only if the first argument does not suffice to determine the value of the expression. In programming, short-circuit evaluation is widely used, with sequential conjunction and disjunction as primitive connectives. A short-circuit logic is a variant of propositional logic (PL) that can be defined with help of Hoare's conditional, a ternary connective comparable to if-then-else, and that implies all identities that follow from four basic axioms for the conditional and can be expressed in PL (e.g., axioms for associativity of conjunction and double negation shift). In the absence of side effects, short-circuit evaluation characterizes PL. However, short-circuit evaluation admits the possibility to model side effects and gives rise to various different short-circuit logics. The first extreme case is FSCL (free short-circuit logic), which characterizes the setting in which evaluation of each atom (propositional variable) can yield a side effect. The other extreme case is MSCL (memorizing short-circuit logic), the most identifying variant we distinguish below PL. In MSCL, only a very restricted type of side effects can be modelled, while sequential conjunction is non-commutative. We provide axiomatizations for FSCL and MSCL. Extending MSCL with one simple axiom yields SSCL (static short-circuit logic, or sequential PL), for which we also provide a completeness result. We briefly discuss two variants in between FSCL and MSCL, among which a logic that admits contraction of atoms and of their negations.

研究の動機と目的

• 副作用を伴う非可換結合子を備えた命題論理の変種として、短絡評価を形式化すること。
• 副作用の取り扱いや評価戦略の違いに基づき、異なる短絡論理を区別すること。
• MSCL や SSCL といった主要な変種について、健全かつ完全な公理的体系を提供すること。
• 静的評価値の同値関係の下で、静的短絡論理（SSCL）の完全性を確立すること。
• 提案された論理的体系における公理の独立性と表現力の調査。

提案手法

• 論文は、短絡論理における命題結合子を定義するために、ホアの条件的結合子（if-then-else）を原始的に用いる。
• 条件的結合子と評価行動を支配する公理に基づく、短絡論理の一般定義を導入する。
• 正規形と木分解を用いて、FSCL および MSCL の式を分析・正規化する。
• 副作用の下での異なる論理的同値関係を区別するため、評価値の同値関係（記憶的および静的）を定義する。
• 静的評価値の同値関係に対して、洗練された等式的基盤を提供し、SSCL における ω-完全性を証明する。
• 5つの異なるモデルを用いて公理の独立性を示し、それぞれのモデルで1つの公理を無効にしつつ他の公理を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 副作用が存在する場合、短絡評価の論理的法則は何か？
• RQ2 自由評価と記憶評価などの異なる評価戦略は、どのように異なる論理的体系を生じるか？
• RQ3 静的短絡論理（SSCL）に対して、完全かつ健全な公理的体系を構築できるか？
• RQ4 短絡結合における非可換性の役割は何か？ そして、それはどのように形式的に捉えられるか？
• RQ5 短絡論理における公理の独立性は、どのように形式的に確立できるか？

主な発見

• FSCL は、すべての原子的評価から完全な副作用を許容する、最も包括的な短絡論理である。
• MSCL は、副作用を制限し、順序付き結合における非可換性を強制する、最も識別的（識別的特徴が強い）な論理である。
• MSCL に1つの追加公理を拡張することで得られる SSCL は、ω-完全性を示している。
• SSCL の公理的体系は洗練されており、対称的であり、5つの異なるモデルによる独立性の検証がなされている。
• 論文は、すべての公理を満たすが1つだけを除く公理を満たさないモデルを構築することで、SSCL の公理の独立性を示している。
• 論理的枠組みは、条件付き動作と副作用を含む、命令型の短絡評価の意味論を形式的かつ等式的設定で効果的に捉えている。