[論文レビュー] Short Cycles Connectivity

Vladimir Batagelj, Matjaž Zaveršnik|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2003

Interconnection Networks and Systems参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、頂点がパスではなく、重複するサイクル（三角形または長さ≤kのサイクル）の系列を通じて接続される、グラフ連結性の一般化である短サイクル連結性を導入する。この関係が頂点上で同値関係を形成することを証明し、O(Δm)の効率的アルゴリズムを提示して連結成分を計算する。主な貢献は、サイクルに基づく連結性を用いたネットワーク構造の統一的枠組みの構築であり、有向グラフやクリークへの拡張が可能である。

ABSTRACT

Short cycles connectivity is a generalization of ordinary connectivity. Instead by a path (sequence of edges), two vertices have to be connected by a sequence of short cycles, in which two adjacent cycles have at least one common vertex. If all adjacent cycles in the sequence share at least one edge, we talk about edge short cycles connectivity. It is shown that the short cycles connectivity is an equivalence relation on the set of vertices, while the edge short cycles connectivity components determine an equivalence relation on the set of edges. Efficient algorithms for determining equivalence classes are presented. Short cycles connectivity can be extended to directed graphs (cyclic and transitive connectivity). For further generalization we can also consider connectivity by small cliques or other families of graphs.

研究の動機と目的

• パスの代わりに重複する短いサイクルの系列を用いることで、従来のグラフ連結性を一般化すること。
• 長さが最大kのサイクルに基づく頂点および辺の連結性を定義・形式化し、三角形を越えて一般化すること。
• 短サイクル連結性が頂点上で同値関係を形成すること、および辺の連結性が同様に成り立つことを確立すること。
• 無向および有向グラフにおいて、連結成分を計算するための効率的O(Δm)アルゴリズムを開発すること。
• 小さなクリークや他のグラフ族を含むフレームワークの一般化を行い、より広範なネットワーク解析を可能にすること。

提案手法

• 隣接する三角形が少なくとも1つの頂点を共有するような三角形の系列を、(頂点)三角形チェーンとして定義する。
• 長さが最大kのサイクルを用いた連結性を表す関係$\mathbf{K}_k$を導入し、隣接するサイクルが少なくとも1つの頂点を共有することを条件とする。
• 隣接するサイクルが少なくとも1つの辺を共有する場合の辺の短サイクル連結性$\mathbf{L}_k$を定義する。
• 検索空間を削減するため、少なくとも1つのk-サイクルに属するアークのみを含むフィルタード部分グラフ$\mathcal{G}_F$を構築する。
• $\mathcal{G}_F$における強い連結性が、元のグラフ$\mathcal{G}$におけるk-ゴナル連結性と正確に一致することを証明する。
• 共通の$K_r$を共有する$K_{r+1}$から$K_k$までのクリークの族を用いて、$(k,r)$-クリーク連結性への一般化を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パスの代わりに重複する短いサイクルの系列を用いて、グラフの連結性を意味的に再定義できるか？
• RQ2 短サイクル連結性は頂点上で同値関係を形成するか？ また、効率的に計算可能か？
• RQ3 辺の短サイクル連結性は頂点連結性とどのように異なるか？ また、辺上でどのような構造を定義するか？
• RQ4 このフレームワークは有向グラフに拡張可能か？ また、強い連結性とはどのように関係するか？
• RQ5 この概念はサイクルを越えて、クリークなどの他のグラフ族に一般化可能か？

主な発見

• 長さが最大$k$のサイクルによる短サイクル連結性は、頂点集合上で同値関係を形成し、整合的な連結成分が保証される。
• 関係$\mathbf{K}_k$（k-サイクルによる頂点連結性）は、$k$-サイクルに属するアークのみを含むフィルタード部分グラフ$\mathcal{G}_F$における強い連結性と等価である。
• 隣接頂点の共通部分を用いた効率的$O(\Delta m)$アルゴリズムが、$\mathbf{K}_k$成分の計算に存在する。
• 辺の短サイクル連結性$\mathbf{L}_k$は辺上で同値関係を定義し、隣接するサイクルが共有する辺によって成分が決定される。
• このフレームワークは$(k,r)$-クリーク連結性に一般化可能であり、サイズ$r+1$から$k$の重複するクリーク（共通の$r$-クリークを共有）を用いて連結性が定義される。
• 有向グラフへの拡張には、循環的および推移的$k$-ゴナル連結性が含まれ、$\mathbf{C}_k(\mathcal{G}) = \mathbf{S}(\mathcal{G}_F) $が成り立ち、$k$-ゴナル連結性とフィルタードグラフにおける強い連結性を結びつける。