[論文レビュー] Short Range Scaling Laws of Quantum Gases With Contact Interactions

Shina Tan|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2004

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、等方的調和阱におけるユニタリティ極限下でのNフェルミ粒子系の量子ガスが接触相互作用を有する場合、短距離スケーリング指数γと基底状態エネルギーの間の明確な関係を確立する。ハイパースフェリカル座標とトーマス・フェルミ近似を用いて、大Nにおけるγの漸近的公式を導出し、γ ≈ −3N/2 + 3N^{2/3}E_{TF}/(ℏω) が得られる。ここでE_{TF}はトーマス・フェルミエネルギーであり、少数体スケーリングと多体系基底状態性質との深い関係が明らかになる。

ABSTRACT

The probability amplitude for $N$ particles in a quantum gas with negligible range of interparticle interaction potentials to come to a small region of size $r$ scales like $r^γ$. It is shown that $γ$ is quantitatively related to the ground state energy of these $N$ fermions in the unitarity limit, confined by an isotropic harmonic potential. For large $N$, the short range density distribution of these $N$ particles is predominantly the same as the Thomas-Fermi profile of the gas in the unitarity limit confined by such a harmonic potential. These results may shed light on strongly interacting ultracold atomic Fermi gases, in a trap or on an optical lattice.

研究の動機と目的

• ゼロ距離相互作用を有する量子ガスにおける多体系波動関数の短距離スケーリング行動を理解すること。
• 短距離スケーリング指数γとユニタリティ極限下のNフェルミオン系の基底状態エネルギーとの間の定量的関係を確立すること。
• 特にトーマス・フェルミ近似に関連して、大Nにおけるγの漸近的振る舞いを調べること。
• γが散乱長aや温度に依存しないこと（系の対称性および粒子統計にのみ依存）を示すこと。
• γと調和阱基底状態エネルギーを結ぶ正確なスケーリング定理を用いて、短距離スケーリング指数の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• Nフェルミオン系を記述するためにハイパースフェリカル座標を用い、重心運動を分離するためのハイパールーティルRとハイパーアングルΩを導入する。
• ハイパースフェリカル形式のシュレーディンガー方程式を適用し、ハイパールーティル部とハイパーアングル部を分離し、小Rにおけるハイパールーティル運動エネルギーがハイパーアングルエネルギーと打ち消されると仮定する。
• ユニタリティ極限における系の基底状態エネルギーE_{TF}の推定にトーマス・フェルミ近似を適用し、大Nに対して有効である。
• 波動関数のスケーリング行動とエネルギー式を一致させることで、γの漸近的公式を導出し、γ ≈ −3N/2 + 3N^{2/3}E_{TF}/(ℏω) を得る。
• 短距離波動関数の振る舞いを外挿するためのスケーリング変換を導入し、調和振動子ハミルトニアンを満たすように修正された波動関数ψ′を構築する。
• 正確なスケーリング定理を証明：Nフェルミオン系がゼロまたは無限大の散乱長を有する調和阱内では、E = (γ + 3N/2)ℏω が成り立つ。これによりγ–エネルギー関係が厳密に確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N個のフェルミ粒子が接触相互作用を有し、小さな空間領域rに近づくとき、多体系波動関数は原点付近でどのようにスケーリングするか？
• RQ2 2成分フェルミガスにおけるユニタリティ極限下で、大Nにおける短距離スケーリング指数γの漸近的振る舞いはいかなるものか？
• RQ3 調和阱による閉じ込め下のユニタリティ極限における系の基底状態エネルギーと、γとの定量的関係は何か？
• RQ4 強い相互作用が存在するにもかかわらず、γが散乱長aや温度に依存しないのはなぜか？
• RQ5 波動関数の短距離スケーリング振る舞いを用いて、γと系の基底状態エネルギーとの間の正確な関係を導出または確認できるか？

主な発見

• 短距離スケーリング指数γは、等方的調和阱内におけるユニタリティ極限下のNフェルミオン系の基底状態エネルギーEと、正確な関係式 E = (γ + 3N/2)ℏω によって定量的に関連づけられる。
• 大Nにおいて、γの漸近的形は γ ≈ −3N/2 + 3N^{2/3}E_{TF}/(ℏω) であり、E_{TF}はトーマス・フェルミエネルギーである。これは普遍的なスケーリング行動を示す。
• γは散乱長aや温度に依存せず、系が単一のエネルギー固有状態にあり、かつr ≪ ℏ/mvである限り、その値は一定である。
• 2種類のスピン状態を有するフェルミガス（各スピンにN/2個のフェルミ粒子）において、γ(N/2,N/2)は大Nにおいて普遍的形に近づく。これは系がユニタリティ極限に近づくことの反映である。
• 本稿では「即時のユニタリティ極限」という概念を導入し、有限のk_F aを持つ系が、真のユニタリティ極限から離れていても、小さなrにおいて一時的にユニタリティに類似したクラスタリング行動を示すことを示している。
• 正確なスケーリング定理により、γの最小値が調和阱内における基底状態波動関数に対応することが確認され、γ–エネルギー関係の厳密な基礎が提供される。