[論文レビュー] Short term unpredictability of high Reynolds number turbulence --- rough dependence on initial data

Z. C. Feng, Y. Charles Li|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、数値シミュレーションを通じて、高レイノルズ数乱流が、初期データに対する粗い依存性によって、短時間にわたって超高速に不安定化する現象を示している。その際、摂動は $ e^{σ\sqrt{Re}\sqrt{t}} $ のように成長し、古典的カオスが支配し始める前に優勢になる。この現象は一般に見られ、さまざまなモードや基本解において顕著であり、完全に発達した乱流の持続性を規定している。

ABSTRACT

Short term unpredictability is discovered numerically for high Reynolds number fluid flows under periodic boundary conditions. Furthermore, the abundance of the short term unpredictability is also discovered. These discoveries support our theory that fully developed turbulence is constantly driven by such short term unpredictability.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件下における高レイノルズ数流体の流れにおける短時間の予測不能性を数値的に示すこと。
• 異なる初期データおよび基本解の間で、超高速摂動成長がどれほど普遍的で、広範に存在するかを調査すること。
• 完全に発達した乱流が初期データへの粗い依存性によって維持されているという理論的主張を支持すること。長期間のカオスとは異なる。
• 高レイノルズ数における摂動増幅が、古典的リャプノフ指数が支配し始めるまでの段階で、$ \sqrt{t} $-依存項が支配的であることを示すこと。
• このような急速な成長が空間次元に依存せず一般に成立することを確立すること。2次元および3次元の両方のシミュレーションで観察された。

提案手法

• 高レイノルズ数（Re = 1000）における2次元および3次元のナビエ＝ストークス方程式の数値的シミュレーション。周期的境界条件を適用。
• ランダムなフーリエモードを用いて、基本流れおよび摂動を表現するためのフーリエスペクトル法の使用。振幅は正規分布、位相は一様分布とする。
• 時間経過に伴う成長を定量化するため、摂動ノルム $ \Lambda(t) = \|du(t)\|_{H^3} $ を定義。
• 成長依存性を評価するため、初期摂動モード（波数）および基本解モードを体系的に変化させる。
• 異なるレイノルズ数および空間次元における摂動成長を比較し、$ \sqrt{Re}\sqrt{t} $-支配領域を特定する。
• 摂動の時間発展を分析し、古典的カオスが支配し始める臨界点 $ t \sim Re $ を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高レイノルズ数乱流は、初期データへの粗い依存性によって、超高速かつ短時間にわたる摂動成長を示すか？
• RQ2 このような急速な増幅は、異なる摂動モードおよび基本解の設定においても広範に存在するか？
• RQ3 初期時間におけるダイナミクスを決定づける $ \sqrt{Re}\sqrt{t} $-依存項と、古典的 $ \sigma_1 t $-依存リャプノフ項の比較は？
• RQ4 超高速成長現象は一般的であり、空間次元（2次元対3次元）に依存しないか？
• RQ5 このような急速な増幅は、中程度のReにおける一時的カオスとは異なり、完全に発達した乱流の持続性を説明できるか？

主な発見

• 高レイノルズ数流れにおける摂動は、$ e^{\sigma\sqrt{Re}\sqrt{t}} $ のように超高速に成長し、$ t \ll Re $ の範囲で支配的になる。短時間の予測不能性が確認された。
• 低波数の摂動モードがより速い超高速成長を示し、増幅速度に階層があることが示された。
• この現象は広範に存在する：超高速成長は、広い範囲の摂動モードおよび基本解モードで観察された。
• 3次元のシミュレーションでも、異なる基本解および摂動モードに対して同じ超高速成長が観察され、一般性が裏付けられた。
• 乱雑な初期条件（例：ランダムなフーリエモード）を用いても、低波数モードでは超高速成長が持続した。
• 時間 $ t \sim Re $ は、短時間の粗い依存性から長期間のカオスへの遷移点であり、完全に発達した乱流では前者が支配的である。