[論文レビュー] Short-time asymptotics for marginal distributions of semimartingales

Amel Bentata, Rama Cont|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、イト半マルコフ過程の滑らかでない関数に対する条件付き期待値の短時間漸近挙動を導出し、アウト・オブ・ザ・マネーのコール・オプションが線形時間減衰を示す一方、イン・ザ・マネーのオプションは局所時間やボラティリティといった局所的特徴に強く依存することを示している。主な貢献は、マルコフ過程やレヴィ過程に限らない一般の不連続半マルコフ過程へと先行研究を拡張する統一的枠組みを、確率積分と局所的特徴に基づいて構築したことである。

ABSTRACT

We study the short-time asymptotics of conditional expectations of smooth and non-smooth functions of a (discontinuous) Ito semimartingale; we compute the leading term in the asymptotics in terms of the local characteristics of the semimartingale. We derive in particular the asymptotic behavior of call options with short maturity in a semimartingale model: whereas the behavior of extit{out-of-the-money} options is found to be linear in time, the short time asymptotics of extit{at-the-money} options is shown to depend on the fine structure of the semimartingale.

研究の動機と目的

• マルコフ過程やレヴィ過程に限らない一般のイト半マルコフ過程（ジャンプ付き）への短時間漸近挙動の一般化。
• 時間の短縮に伴い、半マルコフ過程の滑らかでない関数および滑らかな関数の条件付き期待値の主要項の挙動を特定すること。
• 一般の半マルコフ過程モデルにおける短期満期コール・オプション価格の明示的漸近展開を導出すること。
• ボラティリティ、ジャンプ強度、局所時間といった局所的特徴が、オプション価格の短期満期挙動をどのように決定するかを同定すること。
• 確率積分と局所的特徴に基づく一様な枠組みを用いて、拡散過程、レヴィ過程、ジャンプ・ディフュージョンモデルの先行研究を統合・拡張すること。

提案手法

• 著者らは、イtoの公式とタンカ・マイヤーの公式を用いて、コール・プレフィット $(S_t - K)^+$ のような滑らかでない関数のダイナミクスを分解する。
• 関数 $f$ が $C^2_b$ であるという一般の短時間漸近結果を適用し、$\mathbb{E}[f(\xi_t) \mid \mathcal{F}_{t_0}]$ の展開における主要項を局所的特徴で表現する。
• イン・ザ・マネーのオプションの場合、タンカ・マイヤーの公式を用いて局所時間成分に注目し、$\sqrt{t}$ スケーリングにおける支配的役割を示す。
• 局所マルティンゲールおよび確率測度に関する確率積分を含む、半マルコフ過程のための確率積分の枠組みに依存する。
• 拡散係数 $\delta_t$ に対する非退化性条件を課し、主要項が消えず、適切に定義されることを保証する。
• 独立増分やマルコフ性の仮定を避け、代わりに半マルコフ過程の分解の正則性と局所的特徴に依存する枠組みを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の半マルコフ過程モデルにおいて、満期までの時間がゼロに近づくとき、滑らかな関数の条件付き期待値はどのように振る舞うか？
• RQ2 不連続な半マルコフ過程モデルにおいて、イン・ザ・マネーのコール・オプションの短時間漸近挙動は、何に依存するか？
• RQ3 オプション価格の漸近展開における主要項は、ボラティリティやジャンプ強度といった局所的特徴で明示的に表現可能か？
• RQ4 コール・プレフィット $(S_t - K)^+$ の非滑らか性は、滑らかな関数と比較して、短期満期におけるスケーリング挙動を異なるものにするか？
• RQ5 独立増分性やマルコフ性の仮定なしに、拡散過程やレヴィ過程の先行結果をどの程度一般化できるか？

主な発見

• 滑らかな関数 $f \in C^2_b$ に対して、$\mathbb{E}[f(\xi_t) \mid \mathcal{F}_{t_0}]$ の短時間漸近挙動は $t - t_0$ に対して線形であり、主要項は半マルコフ過程の無限小生成作用素によって決定される。
• アウト・オブ・ザ・マネーのコール・オプションは時間に対して線形減衰を示す：$K > S_{t_0}$ の場合、$\mathbb{E}[(S_t - K)^+ \mid \mathcal{F}_{t_0}] \sim c(t - t_0)$ であり、$c$ はドリフトとボラティリティに依存する。
• イン・ザ・マネーのコール・オプション（$K = S_{t_0}$）は $\sqrt{t - t_0}$ スケーリングを示し、主要項は $S_{t_0} \delta_{t_0} / \sqrt{2\pi}$ に比例する。ここで $\delta_{t_0}$ は拡散係数である。
• イン・ザ・マネーのオプションの漸近挙動は、ボラティリティだけでなく、ストライク価格におけるプロセスの局所時間によって支配される。
• ジャンプ成分は、イン・ザ・マネーのオプションの漸近挙動において、$o(\sqrt{t})$ の低次の項にしか寄与せず、拡散成分が支配的である。
• 本研究の結果は、拡散過程、レヴィ過程、ステージニック・ボラティリティモデルの先行研究を統合・拡張しており、独立増分性やマルコフ性は漸近的構造の成立に必要でないことを示している。