[論文レビュー] Short-time existence of the Ricci flow on complete, non-collapsed $3$-manifolds with Ricci curvature bounded from below

Raphaël Hochard|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、一様に下から有界なリッチ曲率と一様に下から有界な単位球の体積を持つ、完備で非コンパクトな3次元多様体上における短時間のリッチフローの存在を確立する。著者は、新規の「部分リッチフロー」構成を用いることで、初期時における有界な断面曲率を必要とせず、体積下限にのみ依存する一様な時間区間 $[0, ϵ_0^2]$ における存在性を証明し、このような多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限に関する予想を解決する。

ABSTRACT

We prove that for any complete three-manifold with a lower Ricci curvature bound and a lower bound on the volume of balls of radius one, a solution to the Ricci flow exists for short time. Actually our proof also yields a (non-canonical) way to flow and regularize some interior region of a non-complete initial data satisfying the aformentioned bounds.

研究の動機と目的

• 初期時における有界な断面曲率を仮定せず、完備で非コンパクトな3次元多様体上におけるリッチフローの短時間存在を確立すること。
• コンパクト多様体における一様な存在時間と幾何的推定を、リッチ曲率と体積の下限を満たす完備非コンパクト3次元多様体へと拡張すること。
• アンダーソン、チーバー、コリング、ティアンによる、一様に下から有界なリッチ曲率と体積曲率を持つ3次元多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限の滑らかさに関する予想を解決すること。
• 非コンパクトまたは有界でない曲率を持つ初期データに適用可能な一般化された「部分リッチフロー」構成を導入すること。
• 曲率と体積の下限を満たす非コンパクト初期計量の内部領域を非標準的かつ局所的に正則化する手法を提供すること。

提案手法

• 非コンパクトな初期計量を制御された方法で進化させる「部分リッチフロー」構成を導入し、グローバルなコンプリート性の仮定を回避する。
• カットオフ関数と時間に依存するポテンシャルを備えた修正されたリッチフロー方程式を用い、進化を局所化し、曲率の増大を制御する。
• 最大原理の議論を用いてリッチテンソルの進化を制御し、下からのリッチ曲率下限の下でピンチングを保証する。
• 存在時間 $\epsilon_0^2$ に一様な下界を確立し、曲率の増大に依存しない体積下限 $v_0$ のみに依存する。
• 有界曲率を持つフローにおけるペレラの擬局所性と古典的曲率推定を用い、局所的球内でのフローを制御する。
• 距離と体積の進化を制御するための計量補題を用い、フローが内部領域で良好に保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期時における有界な断面曲率を仮定せず、リッチ曲率の下限と単位球の体積の下限のみを持つ完備3次元多様体上でも、リッチフローの短時間存在が成立するか？
• RQ2 コンパクト多様体におけるものと同様に、曲率と体積の下限を満たす完備非コンパクト3次元多様体上におけるリッチフローに対して、一様な存在時間と幾何的推定を確立できるか？
• RQ3 一様に下から有界なリッチ曲率と単位球の体積を持つ3次元多様体の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限は、アンダーソン、チーバー、コリング、ティアンの予想通り、滑らかな多様体と位相的に同相であるか？
• RQ4 リッチ曲率と体積の下限を満たす非コンパクト初期データに対して、非標準的かつ局所的なリッチフローを構成でき、内部領域を効果的に正則化できるか？
• RQ5 曲率の増大に依存しない体積下限 $v_0$ のみに依存する、リッチフローの最良の存在時間下限は何か？

主な発見

• 任意の完備3次元多様体で $\mathrm{Rc} \geq -1$ かつすべての $x$ に対して $\mathrm{vol}(B(x,1)) \geq v_0$ を満たす場合、時間区間 $[0, \epsilon_0^2]$ でリッチフローの解が存在し、$\epsilon_0$ は $v_0$ のみに依存する。
• 存在時間 $\epsilon_0^2$ は、初期時における曲率の増大に依存せず、すべてのこのような多様体に対して一様である。
• すべての $t \in (0, \epsilon_0^2]$ において、リッチ曲率は $-k(v_0)$ で下から有界であり、単位球の体積は一様に $v_0/2$ で下から有界である。
• リーマン曲率テンソルは、$v_0$ のみに依存するある $K$ に対して、時間に一様に $|\mathrm{Rm}| \leq K / t$ を満たす。
• 部分リッチフロー構成により、同じ下限を満たす非コンパクト初期計量の内部領域の正則化が可能である。
• グロモフ＝ハウスドルフ極限が滑らかな多様体と位相的に同相であるという予想が、本結果により裏付けられた。