[論文レビュー] Short time regularity of Navier-Stokes flows with locally $L^3$ initial data and applications

Kyungkeun Kang, Hideyuki Miura+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、初期データが局所的に $L^3$ に属する場合、3次元ナビエ＝ストークス方程式の適切な弱解の短時間正則性を、局所エネルギーおよび圧力ノルムが有界である条件下で確立する。このような解は、一様な $L^\infty$ 界限を伴い、より小さい放物型球内での正則性を示し、滑らかでない初期データへの正則性結果の拡張と、離散的自己相似解および局所 $L^3$ ノルムが小さい解に対する主要な問題の解決を達成する。

ABSTRACT

We prove short time regularity of suitable weak solutions of 3D incompressible Navier-Stokes equations near a point where the initial data is locally in $L^3$. The result is applied to the regularity problems of solutions with uniformly small local $L^3$ norms, and of forward discretely self-similar solutions.

研究の動機と目的

• 初期データが局所的に $L^3$ に属する場合の3次元ナビエ＝ストークス方程式の適切な弱解の短時間正則性を確立すること。
• 一様に小さい局所 $L^3$ ノルムを有する解の正則性問題に取り組むこと。
• $L^3$ を用いた初期データを有する前向き離散的自己相似解の正則性を分析すること。
• ホルダー連続性または小データ仮定を越えて既知の正則性結果を拡張すること。

提案手法

• 初期時刻に近い解の挙動を制御するため、局所エネルギーおよび局所圧力推定を用いる。
• リーマン変換およびカットオフ関数を用いて、圧力を局所的および遠方成分に分解する。
• 圧力および速度場における極限に至るため、滑らか化および弱収束の議論を用いる。
• スケーリング不変推定を用いて、放物型シリンダ内での速度および圧力の均一な境界を確立する。
• 極限と元の解との差の消える議論を用いて、極限の一意性を証明する。
• 非線形項の制御のため、局所エネルギー不等式および $L^2_t L^{3/2}_x$ における圧力の有界性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが局所的に $L^3$ に属する点の近傍で、3次元ナビエ＝ストークス方程式の適切な弱解が正則となるか。
• RQ2 局所 $L^3$ ノルムおよびエネルギー／圧力ノルムに課される条件は、短時間正則性を保証するか。
• RQ3 滑らかでない場合でも、$L^3$ を用いた初期データを有する離散的自己相似解の正則性は確立可能か。
• RQ4 グローバルに $L^3$ 可積分でないが、局所的に $L^3$ で制御される場合、小さな仮定のもとで正則性は保たれるか。
• RQ5 グローバルな小ささを要件としないで、局所 $L^3$ ノルムが小さい解の正則性結果を拡張可能か。

主な発見

• すべての初期 $L^3$ ノルムが $B_1$ 上で $\epsilon_0$ 未満であり、解のエネルギーおよび圧力が $M$ で有界であるならば、解は $B_{1/4} \times (0,T_1)$ で正則である。このとき、$\epsilon_0$ および $C_1$ は普遍定数である。
• 解は $B_{1/4} \times (0,T_1)$ 内で一様な境界 $|v(x,t)| \leq C_1 / \sqrt{t}$ を満たす。この境界は $M$ に依存しない。
• 正則性の時間 $T_1$ は $T_1(M) = \epsilon (1+M)^{-6}$ として $M$ に依存する。ここで $\epsilon > 0$ は十分に小さい普遍定数であり、$M$ が小さい場合に正則性が保証される。
• 圧力は $B_1 \times (0,T_1)$ 上で $L^2_t L^{3/2}_x$ に有界であり、エネルギー推定および圧力分解に不可欠である。
• 解は局所的 $L^3$ ノルムの境界を満たす：$\sup_{z_0} \sup_{r>0} \frac{1}{r^2} \int_{Q_{z_0,r} \cap [B_1 \times (0,T_1)]} |v|^3 \, dz \leq 1$。これは濃度の制御を示している。
• 圧力分解の公式は局所的に成立し、圧力を局所的および遠方成分に分割する。両方の成分は適切な $s,q$ に対して $L^s_t L^q_x$ に有界であり、近似スキームにおける極限の通過を可能にする。