[論文レビュー] Short times characterisations of stochasticity in nonintegrable galactic potentials

Henry E. Kandrup, M. Elaine Mahon|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 1994

Geophysics and Gravity Measurements被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ハッブル時間（$t_H$）よりもはるかに短い時間間隔において、短時間のリャプノフ指数（$\chi(Dt)$）を分析することにより、可積分でない銀河ポテンシャルにおける確率的性質を特徴付ける、新しいアンサンブルベースの手法を提案する。高エネルギー軌道においては、これらの短時間指数の分布がガウス分布となり、分散が $t^{-p}$（$0 < p < 1/2$）の形で減少することが示され、アンサンブル平均と時間平均が一致する。これにより、短時間シミュレーションから長期的な統計的推論が可能になる。

ABSTRACT

This paper proposes an alternative characterisation of the degree of stochasticity exhibited by orbits in a fixed galactic potential. This differs from earlier work involving Liapounov exponents by focusing on the statistical properties of ensembles of trajectories, rather than individual orbits, and by restricting attention to the properties of these ensembles over time scales shorter than the age of the Universe, t_H. For many potentials, generic ensembles of initial conditions corresponding to stochastic orbits exhibit a rapid evolution towards an invariant measure $\\Gamma$, the natural unit to consider if one is interested in self-consistent equilibria. The basic idea is to compute short time Liapounov exponents ${\\chi}(Dt)$ over time intervals $Dt$ for orbits in an ensemble that samples $\\Gamma$, and to analyse the overall distribution of these ${\\chi}$'s. One finds that time averages and ensemble averages coincide, so that the form of the distribution of short time ${\\chi}(Dt)$'s for such an ensemble is actually encoded in the calculation of ${\\chi}(t)$ for a single orbit over long times $t&gt;&gt;t_{H}$. The distribution of short time ${\\chi}$'s is analysed as a function of the energy E of orbits in the ensemble and the length of the short time sampling interval ${\\D}t$. For relatively high energies, the distribution is essentially Gaussian, the dispersion decreasing with time as $t^{-p}$, with an exponent 0&lt;p&lt;1/2 that depends on the energy E. (to appear in Astronomy and Astrophysics)

研究の動機と目的

• 非可積分な銀河ポテンシャルにおける確率的性質を定量化するための、個々の軌道のリャプノフ指数とは異なる代替手法を開発すること。
• 長期的な個々の軌道の挙動ではなく、短時間スケール（$Dt \ll t_H$）における軌道アンサンブルの統計的性質に焦点を当てること。
• 短時間指数の分布が、自己無撞着平衡状態に関連する長期的不変測度（$\Gamma$）に関する情報を保持しているかどうかを特定すること。
• 短時間指数のアンサンブル平均が、長期間にわたる時間平均と一致するかどうかを特定し、効率的な確率的性質の特徴付けを可能にすること。
• 短時間リャプノフ指数の分布が、軌道エネルギー（$E$）およびサンプリング間隔（$\Delta t$）にどのように依存するかを分析すること。

提案手法

• 不変測度 $\Gamma$ をサンプリングする初期条件のアンサンブルにおける軌道に対して、時間間隔 $\Delta t$ における短時間リャプノフ指数 $\chi(Dt)$ を計算する。
• 初期条件のアンサンブル全体における $\chi(Dt)$ の統計的分布を分析する。
• 短時間間隔における $\chi(Dt)$ のアンサンブル平均を、長期間（$t \gg t_H$）にわたる単一軌道の $\chi(t)$ の時間平均と比較する。
• 銀河力学における自己無撞着平衡状態の自然な基準として、不変測度 $\Gamma$ を用いる。
• $\chi(Dt)$ 分布の分散が $\Delta t$ にどのように依存するかを調査し、特にその減少が $t^{-p}$ の形で行われるかを検討する。
• 分布が概ねガウス分布に近いとされる高エネルギー軌道に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Gamma$ をサンプリングする軌道アンサンブルにおける短時間リャプノフ指数 $\chi(Dt)$ の分布は、長期的な力学的挙動を反映しているか？
• RQ2 短時間間隔における $\chi(Dt)$ のアンサンブル平均は、長期間にわたる単一軌道の時間平均と再現可能か？
• RQ3 $\chi(Dt)$ 分布の形状は、軌道エネルギー $E$ および時間間隔の長さ $\Delta t$ にどのように依存するか？
• RQ4 $\chi(Dt)$ 分布の分散がべき乗則の減少 $\sim t^{-p}$ に従うかどうか、および $p$ がエネルギーにどのように依存するか？
• RQ5 高エネルギー軌道において $\chi(Dt)$ 分布がどれほどガウス分布に近いか、そしてその性質が確率的性質の特徴付けにどのように影響するか？

主な発見

• 高エネルギー軌道において、短時間リャプノフ指数 $\chi(Dt)$ の分布は概ねガウス分布に近い。
• $\chi(Dt)$ 分布の分散は時間とともに $t^{-p}$ の形で減少し、$0 < p < 1/2$ であり、$p$ は軌道エネルギー $E$ に依存する。
• 短時間間隔における $\chi(Dt)$ のアンサンブル平均は、長期間にわたる単一軌道の $\chi(t)$ の時間平均と一致する（$t \gg t_H$）。
• $\chi(Dt)$ 分布の統計的性質は、単一軌道の長期間挙動に埋め込まれており、短時間シミュレーションから効率的な推論が可能になる。
• 不変測度 $\Gamma$ は自己無撞着平衡状態の自然な基準となり、$\Gamma$ をサンプリングするアンサンブルは一貫した短時間の確率的性質の兆候を示す。
• 本手法は、非可積分な銀河ポテンシャルにおける確率的性質の特徴付けに、長期的なリャプノフ指数計算とは異なる計算的に効率的な代替手法を提供する。