[論文レビュー] Shortest path and maximum flow problems in planar flow networks with additive gains and losses

Saber Mirzaei, A. J. Kfoury|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、辺に加法的利得または損失を持つ平面的加法的フローネットワークにおける最短経路問題および最大フロー問題が、強い意味でNP困難であることを証明している。平面的構造はしばしば多項式時間解法を可能にするが、加法的利得／損失の存在により標準的なフロー性質が破れ、入力値が有界であっても、これらの基本的ネットワーク問題は計算的に扱いにくくなる。

ABSTRACT

In contrast to traditional flow networks, in additive flow networks, to every edge e is assigned a gain factor g(e) which represents the loss or gain of the flow while using edge e. Hence, if a flow f(e) enters the edge e and f(e) is less than the designated capacity of e, then f(e) + g(e) = 0 units of flow reach the end point of e, provided e is used, i.e., provided f(e) != 0. In this report we study the maximum flow problem in additive flow networks, which we prove to be NP-hard even when the underlying graphs of additive flow networks are planar. We also investigate the shortest path problem, when to every edge e is assigned a cost value for every unit flow entering edge e, which we show to be NP-hard in the strong sense even when the additive flow networks are planar.

研究の動機と目的

• 加法的フローネットワークにおける最短経路問題および最大フロー問題の計算複雑性を調査すること。
• ネットワーク構造の平面性が、これらの問題に対して多項式時間解法を可能にするかを特定すること。
• 一般グラフにおける先行のNP困難性結果を、より制限された平面グラフのケースに拡張すること。
• 加法的利得および損失が、フロー保存則や双対性といった古典的ネットワークフロー性質に与える影響を調査すること。
• 近似アルゴリズムおよび固定パrameter可 tractable（FPT）解法に関する今後の研究の基盤を築くこと。

提案手法

• 妥当なフローが満たす割り当てに対応する平面的加法的フローネットワークを3-SATから還元して構築すること。
• 論理的変数と論理式の項をフローネットワーク構造に符号化するための変数ガジェットおよび節ガジェットの設計。
• エッジ容量、利得係数、コスト関数を用いて論理制約およびフロー行動をモデル化すること。
• 流入と流出の最大化問題を関連付けるために逆方向のフローネットワークを構築すること。
• 入力値が多項式的に有界であることを用いて、強い意味でのNP困難性を形式的に証明すること。
• 平面グラフの構造と加法的利得／損失の性質を活用し、標準的手法が失敗することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的加法的フローネットワークにおける最短経路問題は、強い意味でNP困難であるか？
• RQ2 平面的加法的フローネットワークにおける最大流入または最大流出問題は、強い意味でNP困難であるか？
• RQ3 加法的フローネットワークに、標準的な最大フロー／最小カット双対性や増幅パス法を適用できるか？
• RQ4 加法的利得および損失は、最短経路問題における部分経路の最適性を無効にするか？
• RQ5 これらの問題に対して、近似アルゴリズムや固定パrameter可 tractable（FPT）アルゴリズムを開発できるか？

主な発見

• 平面的加法的フローネットワークにおける最短経路問題は、すべてのエッジコスト、利得、容量が入力サイズの多項式で有界であっても、強い意味でNP困難である。
• 平面的加法的フローネットワークにおける最大流入問題は、平面的構成を伴う3-SAT還元により、強い意味でNP困難であることが示された。
• 最大流出問題についても、逆方向のフローネットワークを用いた双対性の議論により、強い意味でNP困難であることが立証された。
• 加法的利得および損失の存在により、フロー保存則、部分経路の最適性、最大フロー／最小カット双対性といった古典的性質が破られる。
• すべての入力パラメータ（コスト、利得、容量）がネットワークサイズに対して多項式的に有界であっても、この結果は成り立つ。
• これらの問題に対して、既知の多項式時間アルゴリズムが存在しないことが示唆され、近似アルゴリズムおよび固定パrameter可 tractable（FPT）アルゴリズムの今後の研究が促進される。