[論文レビュー] Shortest sequences containing primitive words and powers

Yu Hin Au|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2009

Coding theory and cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の有限アルファベット上での長さ $n$ の原始的単語をすべて含む最短の語を、貪欲アルゴリズムまたは辞書的順序でのリュンドン語の連結によって構築する。また、$k$ 文字アルファベット上での長さ $pn$ の $p$-乗語をすべて含む語の長さについて、$pk^n$ から約 $(p + \frac{1}{k})k^n$ の間にあるという境界を確立し、上界に到達するためのアルゴリズムを提示する。

ABSTRACT

We show that for every $n \geq 1$ and over any finite alphabet, there is a word whose circular factors of length $n$ have a one-to-one correspondence with the set of primitive words. In particular, we prove that such a word can be obtained by a greedy algorithm, or by concatenating all Lyndon words of length $n$ in increasing lexicographic order. We also look into connections between de Bruijn graphs of primitive words and Lyndon graphs. Finally, we also show that the shortest word that contains every $p$-power of length $pn$ over a $k$-letter alphabet has length between $pk^n$ and roughly $(p+ \frac{1}{k}) k^n$, for all integers $p \geq 1$. An algorithm that generates a word which achieves the upper bound is provided.

研究の動機と目的

• 任意の有限アルファベット上での長さ $n$ のすべての原始的単語をちょうどその長さの巡回因子として含む最短語を構築すること。
• $k$ 文字アルファベット上での長さ $pn$ のすべての $p$-乗語を含む語の長さについて、タイトな境界を確立すること。
• 原始的単語のデ・ブルイーングラフとリュンドングラフの間の構造的関係を調査すること。
• すべての $p$-乗語を含む語の上界に到達する効率的なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 貪欲アルゴリズムを用いて、すべての原始的単語を長さ $n$ の巡回因子として含む語を構築する。
• この構成が、長さ $n$ のすべてのリュンドン語を辞書的順序で連結することと等価であることを示す。
• 原始的単語に制限されたデ・ブルイーングラフの構造を分析し、それらをリュンドングラフに関連付ける。
• 組合せ論的およびストリングロジー技法を用いて、長さ $pn$ のすべての $p$-乗語を含む語の最小長さについて理論的境界を導出する。
• 長さ $pn$ の $p$-乗語を含む語の上界である約 $(p + \frac{1}{k})k^n$ を達成するアルゴリズムを設計する。
• リュンドン語の性質とそれらがストリング因子化およびデ・ブルイーングラフ構造において果たす役割を活用した理論的分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限アルファベット上での長さ $n$ のすべての原始的単語を巡回因子として含む最短語は何か？
• RQ2 $k$ 文字アルファベット上での長さ $pn$ のすべての $p$-乗語を含む語は、どのくらい短くできるか？
• RQ3 原始的単語のデ・ブルイーングラフとリュンドングラフの間にはどのような構造的関係があるか？
• RQ4 貪欲アルゴリズムまたはリュンドン語の連結によって、原始的単語カバレッジの最短語を生成できるか？
• RQ5 $p$-乗語カバレッジの上界に到達する語を生成する効率的なアルゴリズムは存在するか？

主な発見

• すべての $n \geq 1$ および任意の有限アルファベットに対して、長さ $n$ のすべての原始的単語をちょうどその巡回因子として含む語が存在する。
• そのような語は、貪欲に構築するか、長さ $n$ のすべてのリュンドン語を辞書的順序で連結することで構築可能である。
• $k$ 文字アルファベット上での長さ $pn$ のすべての $p$-乗語を含む最短語の長さは、$pk^n$ から約 $(p + \frac{1}{k})k^n$ の間にある。
• 上界 $(p + \frac{1}{k})k^n$ は、提供されたアルゴリズムにより $p$-乗語カバレッジで達成可能である。
• 本稿では、原始的単語のデ・ブルイーングラフとリュンドングラフの間の構造的関係を確立し、より深い組合せ論的関係を示唆している。
• リュンドン語の連結による構成は、原始的単語カバレッジにおける巡回因子の数の最小化を保証する。