[論文レビュー] Shot-noise processes with logarithmic response function and their scaling limits

Luisa Beghin, Lorenzo Cristofaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

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ひとこと要約

要約: 本論文は対数型の時間比に基づくインパルス応答を持つショットノイズ過程を導入し、有限時間特性を分析し、Hadamard分数Brown動き（H-fBm）へのスケーリング極限を証明する。

ABSTRACT

We consider shot-noise processes with an impulse response written in terms of the logarithm of the ratio between current and event time (instead of the usual absolute time difference). We study its finite-time properties as well as its weak convergence, under appropriate scaling and with general assumptions on the dependence of noises on event times. The limiting process coincides with the so-called Hadamard fractional Brownian motion (introduced in Beghin, Cristofaro, Polito (2026)), which represents a middle ground between standard Brownian motion and fractional Brownian motion. It shares the one-dimensional distribution with the former, while possessing the long-memory property (within a certain parameter range) of the latter, though with smaller intensity.

研究の動機と目的

• lingering な対数インパルス応答と長期依存性の可能性を持つシステムのモデリングを動機付ける。
• impulse response が |t−T_j| ではなく比 t/T_j に依存するショットノイズの枠組みを定義する。
• ノイズと事象時刻に関する適切な仮定の下で有限時間特性とスケーリング極限を確立する。
• スケーリング極限がHadamard分数Brown動きと一致することを示し、その記憶特性を分析する。

提案手法

• S(t) をインパルス応答 g(t/T_j) とランダムショック R_j(T_j) を用いたショットノイズ出力と定義する。
• g(t)=log^β(t)1_{[1,∞)}(t) かつ β ∈ (0,1/2) と仮定して S_β(t) を得る。
• Poissonランダム測度表現を用いて S_β の共分散を計算し、さまざまなノイズ仮定の下で明示的な形を導く。
• スケール済み S_α,c が c→∞ のとき Hadamard-fBm B^H_α へ有限次元分布収束することを、特性関数と Lévy 測度のスケーリングを用いて示す。
• 適切なタイトネス基準（補題 3.1 [11]）を用いて D[0,T] の Skorokhod J1 トポロジーでの弱収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数比ベースのインパルス応答はショットノイズモデルにおいて非定常でスケール不変な自己相関をもたらすか。
• RQ2 どの条件で対数ショットノイズ極限は Hadamard分数Brown動きと一致するか。
• RQ3 Shock の条件付き分散構造 R_j(T_j) が有限時間の共分散と極限の記憶挙動にどのように影響するか。
• RQ4 対数ショットノイズ核とべき法則ショットノイズ核の2乗和変動（Quadratic variation）にはどのような差が生じるか。

主な発見

• 独立ノイズで一定分散の場合、Cov(S_β(t),S_β(s)) は Tricomi 関数を含む閉形式で表現可能で、t/s のスケール不変な緩やかに変化する関数として振る舞う。
• 独立ノイズの場合、S_β は二乗変動がゼロであり、標準のべき法則ショットノイズでは二乗変動が発散するのとは対照的である。
• K2 および K4（分散構造）に適切な仮定の下で、Ŝ_{α,c}(t)=S(ct)/√(cK_{α,λ}) が Hadamard分数Brown動き B^H_α へ有限次元分布収束する。
• Skorokhod 空間(D[0,T], J1) での弱収束は、一連の正則性条件の下で Ŝ_{α,c} から B^H_α へ確立される（定理3.2）。
• Hadamard fBm B^H_α は一次元分布を Brownian motion と共有するが、α ∈ (1,2) のとき長期依存性を示し、α ∈ (0,1) のとき短期依存性を持つ。