[論文レビュー] Shrinking Targets for Countable Markov Maps

Henry W. J. Reeve|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、単位区間上の無限個の分岐を持つ拡張型可算マルコフ写像について、軌道が点 $ y $ の周りの半径 $ e^{-neta} $ の収縮する球に無限回进入する集合のハウスドルフ次元が、圧力関数 $ P(-s\log|T'|) < s\alpha $ を満たす最小の $ s $ である $ s(\alpha) $ に等しいことを確立する。この結果は、レピラー $ \Lambda $ が $[0,1]$ に稠密であるとき、$ \overline{\Lambda} $ 内のすべての $ y $ に対して成り立つが、$ \dim_H \Lambda < 1 $ であっても $ y \notin \Lambda $ の場合、$ s(\alpha) > 0 $ であっても、次元が 0 になる場合があることが示され、$ s(\alpha) > 0 $ であっても幾何的次元が 0 になる可能性があることを示している。

ABSTRACT

Let $T$ be an expanding Markov map with a countable number of inverse branches and a repeller $Λ$ contained within the unit interval. Given $α\in \R_+$ we consider the set of points $x \in Λ$ for which $T^n(x)$ hits a shrinking ball of radius $e^{-nα}$ around $y$ for infinitely many iterates $n$. Let $s(α)$ denote the infimal value of $s$ for which the pressure of the potential $-s\log|T'|$ is below $s α$. Building on previous work of Hill, Velani and Urbański we show that for all points $y$ contained within the limit set of the associated iterated function system the Hausdorff dimension of the shrinking target set is given by $s(α)$. Moreover, when $\barΛ=[0,1]$ the same holds true for all $y \in [0,1]$. However, given $β\in (0,1)$ we provide an example of an expanding Markov map $T$ with a repeller $Λ$ of Hausdorff dimension $β$ with a point $y\in \barΛ$ such that for all $α\in \R_+$ the dimension of the shrinking target set is zero.

研究の動機と目的

• 無限個の分岐を持つ拡張型可算マルコフ写像の収縮ターゲット集合のハウスドルフ次元を特定すること。
• ヒル、ヴェラニ、ウルバńskiの有限分岐系に関する先行結果を、無限分岐系へと拡張すること。
• ターゲット点 $ y $ に依存する次元の性質を調査すること、特に $ y \in \overline{\Lambda} \setminus \Lambda $ の場合に注目すること。
• $ s(\alpha) > 0 $ であっても収縮ターゲット集合の次元が正またはゼロである条件を特定すること。
• $ \dim_H \Lambda \in (0,1) $ かつ $ s(\alpha) > 0 $ であるにもかかわらず $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = 0 $ が生じる反例を提供すること。

提案手法

• 収縮ターゲット集合 $ \mathcal{D}_y(\alpha) $ を、$ T^n(x) $ が無限に多くの $ n $ に対して $ y $ の周りの半径 $ e^{-n\alpha} $ の球に進入するような $ x \in \Lambda $ の集合として定義する。
• 圧力関数 $ P(-s\log|T'|) $ を用いて、$ P(-s\log|T'|) < s\alpha $ を満たす最小の $ s $ として $ s(\alpha) $ を定義し、これが次元を支配する。
• 熱力学的形式主義および次元論の技法、特に質量転送原理と被覆議論を用いる。
• シリンダーセット $ V_\omega $ を用いたネストされた被覆を構成し、導関数の成長 $ |(T^n)'(x)| > \xi^n $ を用いてその直径を推定する。
• ポテンシャル $ \Phi(n,x) = e^{-S_n(\varphi)(x)} $ のほぼ乗法的性質を用いて、ターゲット集合のサイズを制御し、圧力関数と関連付ける。
• 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、その $ \epsilon $-ハウスドルフ測度が有限であることを示すことにより、次元の上界を証明し、$ \dim_H \leq s(\alpha) $ を得る。また、次元 $ s(\alpha) $ を持つカントール型部分集合を構成することで下界を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限個の逆分岐を持つ拡張型可算マルコフ写像に対して、収縮ターゲット集合 $ \mathcal{D}_y(\alpha) $ のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 $ \Lambda $ が $[0,1]$ に稠密であるとき、$ \overline{\Lambda} $ 内のすべての $ y $ に対して $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = s(\alpha) $ が成り立つか？
• RQ3 $ s(\alpha) > 0 $ であっても $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = 0 $ が生じる可能性があるか？ もしそうなら、$ y $ および $ \Lambda $ に対してどのような条件下で生じるか？
• RQ4 $ y \in \Lambda $ と $ y \in \overline{\Lambda} \setminus \Lambda $ の場合で、収縮ターゲット集合の挙動はどのように異なるか？
• RQ5 $ s(\alpha) > 0 $ であっても、収縮ターゲット集合の次元が $ s(\alpha) $ より厳密に小さい場合、どのような条件下で生じるか？

主な発見

• 拡張型可算マルコフ写像とレピラー $ \Lambda $ を持つとき、無限個の逆分岐を持つ場合であっても、すべての $ y \in \Lambda $ に対して収縮ターゲット集合 $ \mathcal{D}_y(\alpha) $ のハウスドルフ次元は $ s(\alpha) $ に等しい。
• $ \overline{\Lambda} = [0,1] $ のとき、$ \mathcal{D}_y(\alpha) $ の次元公式 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = s(\alpha) $ は、$ \Lambda $ の閉包内のすべての $ y \in [0,1] $ に対して成り立つ。
• 任意の $ \beta \in (0,1) $ に対して、$ \dim_H \Lambda = \beta $ であるような拡張マルコフ写像と、$ \overline{\Lambda} \setminus \Lambda $ 内の点 $ y $ が存在し、すべての $ \alpha > 0 $ に対して $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = 0 $ となる。$ s(\alpha) > 0 $ であるにもかかわらず、この現象が生じる。
• $ s(\alpha) > 0 $ であっても、$ \mathcal{D}_y(\alpha) $ の次元が 0 になることは、圧力に基づく次元と、特定の $ y $ に対する実際の幾何的次元との間の明確な違いを示している。
• 明示的な構成により、特定のポテンシャル $ \Phi $ を用いて定義される集合 $ S_0(\Phi) $ が、ハウスドルフ次元が 0 であることが示されたが、関連する圧力関数は $ s(\Phi) > 0 $ を満たす。
• ほぼ乗法的関数 $ \Phi(n,x) $ に対しても、$ T $ が可算マルコフ写像であり、$ \Phi $ がほぼ乗法的条件を満たす限り、$ \dim_H \mathcal{S}_y(\Phi) = s(\Phi) $ が成り立つ。