[論文レビュー] Shtuka cohomology and special values of Goss L-functions

M. Mornev|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、shtukaと$ζ$-同型を用いたコhomological枠組みを構築することで、任意の係数環上でのDrinfeldモジュラーの類数公式を確立する。Taelmanの類数公式を一般化し、Gossの$L$-関数の特別値をレギュレーターとshtukaモデルのコホモロジーに関連づける。shtukaコホモロジーとトレース公式を用いて、$L(E^*,0) \cdot \det_A \operatorname{Lie}_E(R) = \det_F(\rho_E)(\det_A U_E)$を証明する。

ABSTRACT

Assuming everywhere good reduction we generalize the class number formula of Taelman to Drinfeld modules over arbitrary coefficient rings. In order to prove this formula we develop a theory of shtukas and their cohomology.

研究の動機と目的

• 係数環$A = \mathbb{F}_q[t]$のケースから、任意の係数環$A$へのDrinfeldモジュラーの類数公式の一般化を図ること。
• グローバルおよびローカルモデルにおけるshtukaのコホモロジー理論を構築し、Gossの$L$-関数の特別値を計算すること。
• Drinfeldモジュラーの算術的レギュレーターと、$s=0$におけるその$L$-関数の特別値との間の明確な関係を確立すること。
• shtukaコホモロジーにおける$\zeta$-同型が、トレース公式と行列式の恒等式を介して$L$-値とレギュレーターを符号化することを証明すること。

提案手法

• Dedekind整域$R$上に定義されたDrinfeldモジュラー$E$に対し、係数環$A$を有するグローバルshtukaモデル$\mathcal{M}$を構成する。
• 完全化Čechコホモロジーやcompactly なコホモロジーを含むshtukaコホモロジー理論を用い、$\operatorname{R\Gamma}(C^\circ \times X, \mathcal{M})$およびその双対を計算する。
• $\zeta$-同型とレギュレーターを用いて、$\mathcal{M}$およびその双対$\nabla\mathcal{M}$のコホモロジーを関連づけ、行列式の恒等式を確立する。
• Artinianレギュレーターのトレース公式とオイラー積を用い、$\zeta$-同型を$L$-値$L(\mathcal{M}) = L(E^*,0)$を介して関連づける。
• 指数写像とBarsotti-Weil型の公式を用い、単位群の複体$U_E$とLie代数コホモロジーを関連づける。
• 基本的および係数のコンパクト化を適用し、$n \gg 0$に対して$\mathcal{M}$を$\mathfrak{e}^n$でねじる。これによりコホモロジーの有限性と整合性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Drinfeldモジュラーの類数公式を$A = \mathbb{F}_q[t]$から任意の係数環$A$に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 shtukaコホモロジーは、Gossの$L$-関数の特別値を計算するために果たす役割は何か？
• RQ3 shtukaコホモロジーにおける$\zeta$-同型は、どのように特別値$L(E^*,0)$を符号化するか？
• RQ4 算術的レギュレーター$\rho_E$は、$\zeta$-同型を介してコホモロジー的表現として行列式として実現可能か？
• RQ5 グローバルshtukaモデルのコホモロジーと$s=0$における$L$-値との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 本稿は、$L(E^*,0) \cdot \det_A \operatorname{Lie}_E(R) = \det_F(\rho_E)(\det_A U_E)$を証明し、任意の係数環上でのDrinfeldモジュラーの類数公式を確立する。
• $\zeta$-同型$\zeta$は、グローバルshtukaモデル$\mathcal{M}$に対して$\zeta = L(\mathcal{M}) \cdot \det_F(\rho)$を満たし、$L(\mathcal{M}) = L(E^*,0)$である。
• グローバルモデル$\mathcal{M}$のコホモロジーは、複体$U_E[-1]$およびLie代数$\operatorname{Lie}_E(R)[-1]$を計算し、レギュレーター$\rho$は準同型写像のもとで$\rho_E[-1]$と一致する。
• 十分に大きな$n$に対して、ねじられたモデル$\mathfrak{e}^n\mathcal{M}$は$\zeta_{\mathfrak{e}^n\mathcal{M}} = L(\mathfrak{e}^n\mathcal{M}) \cdot \det_F(\rho_{\mathfrak{e}^n\mathcal{M}})$を満たし、トレース公式の適用が可能になる。
• $\rho_E$は、$F \otimes_A U_E[-1]$と$\operatorname{Lie}_E(K)[-1]$の間の準同型写像として実現され、その行列式は$L$-値を符号化する。
• グローバルモデルの構築とそのコホモロジーは、行列式関手と$\zeta$-同型を介して、特別値$L(E^*,0)$のコホモロジー的解釈を提供する。