[論文レビュー] Shtukas and the Taylor expansion of $L$-functions

Zhiwei Yun, Wei Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、PGL2の分岐しない尖域自動形式表現πのベースチェンジL関数のr次の中心導関数と、2階のr変更付きDrinfeld Shtukaのmoduliスタック上のHeegner–Drinfeldサイクルのπ型成分の自己交点数を結びつけることで、Gross–ZagierおよびWaldspurgerの公式の関数体版を確立する。結果として、shtukaのmoduli空間上の幾何学的・スペクトル的技法を用いて、関数体設定における高次導関数への古典的L関数の公式の一般化が達成される。

ABSTRACT

We define the Heegner--Drinfeld cycle on the moduli stack of Drinfeld Shtukas of rank two with $r$-modifications for an even integer $r$. We prove an identity between (1) The $r$-th central derivative of the quadratic base change $L$-function associated to an everywhere unramified cuspidal automorphic representation $π$ of $PGL_{2}$; (2) The self-intersection number of the $π$-isotypic component of the Heegner--Drinfeld cycle. This identity can be viewed as a function-field analog of the Waldspurger and Gross--Zagier formula for higher derivatives of $L$-functions.

研究の動機と目的

• 関数体設定におけるL関数の高次中心導関数へのGross–ZagierおよびWaldspurgerの公式の一般化を図ること。
• Drinfeld Shtukaのmoduliスタックにr変更を施した場合のHeegner–Drinfeldサイクルの定義と研究を行うこと。
• ベースチェンジL関数のr次中心導関数とサイクルのπ型成分の自己交点数との間の明確な恒等式を確立すること。
• rが零点の位数でない場合でも、L関数の導関数の幾何的解釈を、最初の項を越えて拡張すること。

提案手法

• 曲線Xを有限体上にとるとき、2階のr変更付きDrinfeld ShtukaのmoduliスタックShtr_Gを定義する。
• 自動形式表現πと整合するサイクルとしてHeegner–Drinfeldサイクルを構成する。
• 相対的トレース公式とスペクトル分解を用いて、自動形式L関数を幾何的不変量と関連付ける。
• コホロロジー的スペクトル分解と交点論を適用し、π型成分の自己交点数を計算する。
• トレース公式を介して、解析的側（L関数の導関数）と幾何的側（交点数）の比較を確立する。
• L値の超正則性結果と関数等式を用いて、最終的な恒等式における非退化性と正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gross–ZagierおよびWaldspurgerの公式は、関数体設定における高次導関数へと拡張可能か？
• RQ2 shtukaのmoduli空間上に、その自己交点数がL関数のr次中心導関数を計算する幾何的対象が存在するか？
• RQ3 ベースチェンジL関数のr次導関数は、shtukaのmoduliスタック上の交点論のみを用いて表現可能か？
• RQ4 Heegner–Drinfeldサイクルの幾何的構成は、零点の位数に依存せず、任意のrに対して一様な公式を与えるか？

主な発見

• ベースチェンジL関数L(πF′, s)のr次中心導関数は、Shtr_G上のHeegner–Drinfeldサイクルのπ型成分の自己交点数に等しい。
• この恒等式は任意の偶数整数rに対して成り立ち、rがs = 1/2におけるL関数の零点の位数でない場合でも適用可能である。
• moduliスタックShtr_GはX^rへのファイブレーションを備えており、これによりサイクルの構成とスペクトル分解が可能になる。
• 関数等式L(πF′, s) = L(πF′, 1−s)は、正規化されたL関数L(πF′, s)においても保たれ、中心値は超正則である。
• 証明は、関数等式とユニタリ的自己双対表現を用いて確立されたL値の超正則性に依存しており、中心導関数の正則性を保証する。
• この結果により、関数体設定における高次L関数導関数の幾何的解釈が得られ、数体設定における中心導関数に幾何的意味が存在する可能性を示唆するが、現時点ではそのようなmoduli空間は未確立である。