[論文レビュー] Shuffling and Unshuffling

Dane Henshall, Narad Rampersad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

semigroups and automata theory被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、形式的言語におけるシャッフルおよびアンシャッフル操作の閉包性を調査し、特に自己シャッフルと逆減数変換に焦点を当てる。正則言語が特定のアンシャッフル操作（bdir）に関して閉じている一方で、文脈自由言語はbdirやssに関して閉じていないことを証明し、pssr(L) がLが正則言語であれば文脈自由言語であることを示す。これは、PDAシミュレーションによるbdirと回文構築の新しい関係を用いて実現される。

ABSTRACT

We consider various shuffling and unshuffling operations on languages and words, and examine their closure properties. Although the main goal is to provide some good and novel exercises and examples for undergraduate formal language theory classes, we also provide some new results and some open problems.

研究の動機と目的

• 自己シャッフル操作（ss, pss, ssr, pssr）が正則言語および文脈自由言語に対して閉じているかどうかを分析すること。
• 逆減数変換（bdi, bdir）が言語クラスに与える影響を調査すること。
• 文脈自由言語がさまざまなシャッフルおよびアンシャッフル変換に関して閉じているかどうかを特定すること。
• 上級のリーマン形式言語理論の授業に適した新しい結果と未解決問題を提示すること。

提案手法

• シャッフル操作を特徴付けるためにモルフィズムおよび逆モルフィズムを用い、正則言語および文脈自由言語の閉包性を活用する。
• 自己シャッフル言語（ssr や pssr）への属するかどうかを確認するために、非決定的スタック自動機（PDA）を用いる。
• ポンピング補題の分析のための重要な部分言語を抽出するために、正則言語とのインターセクションを適用する。
• 逆減数に逆順を加えたbdir操作を導入し、奇数番目および偶数番目の位置におけるDFAの二重シミュレーションにより、正則言語の下で閉じていることを証明する。
• bdir操作を用いて、pssr(L) と言語 {ww^R : w ∈ bdir(L)} の間に接続を確立し、文脈自由性を証明する。
• 語のパターンおよび位置に基づく制約の構造的解析に依存して、自己シャッフル構成における言語属および等価性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則言語Lの自己シャッフルss(L) は常に文脈自由言語か？
• RQ2 正則言語Lの完全自己シャッフルpssr(L) は文脈自由言語のままであるか？
• RQ3 文脈自由言語はbdir操作（逆減数に逆順を加えたもの）に関して閉じているか？
• RQ4 bdirのような構造的変換を用いて、pssr操作を既知の言語クラスに還元できるか？
• RQ5 bdir(L) と回文言語 {ww^R : w ∈ bdir(L)} の関係は何か？

主な発見

• 正則言語Lの自己シャッフルss(L) は文脈自由言語であるとは限らない。これは、特定の正則言語Rに対して ss({0,1}*) ∩ R が文脈自由でないことを示すことで証明された。
• 正則言語Lの完全自己シャッフルpssr(L) は文脈自由言語である。これは、pssr(L) が {ww^R : w ∈ bdir(L)} に等しいことと、文脈自由言語の回文構築に対する閉包性を用いて証明された。
• bdir操作は正則性を保存する：L が正則言語であれば、bdir(L) に対しても正則言語である。これは、奇数番目および偶数番目の位置におけるDFAの二重シミュレーションによって示された。
• 文脈自由言語のクラスはbdirに関して閉じていない。これは、ある文脈自由言語Lを構成し、bdir(L) が非文脈自由言語の部分言語 (03)^n(13)^n(23)^{2n} を含むことによって示された。
• bdir操作はJantzenとPetersenが研究した既知の変換「twist」と同等であり、その閉包性は先行研究と整合的である。
• 重要な構造的恒等式 w sh w^R = bdir(w) bdir(w)^R が証明された。これにより、pssr(L) がbdir(L) 上の回文言語に還元可能であることが可能になった。