[論文レビュー] Sidon sets and $C_4$-saturated graphs

David Fernando Daza Urbano, Carlos A. Trujillo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、サイドン集合と $C_4$-飽和グラフの間の関係を確立し、シンガー型のサイドン集合の和グラフが、極値的タラン数 $ex(q^2+q+1, C_4)$ を達成する $C_4$-自由グラフを生成することを示している。さらに、このグラフに任意の辺を追加すると、$√{n} + o(√{n})$ 個以上の $C_4$ のコピーが生成されることを証明し、このクラスのグラフについてエドősとシモノビッチの予想を検証した。

ABSTRACT

The problem of determining the Turán number of $C_4$ is a well studied problem that dates back to a paper of Erdös from 1938. It is known that Sidon sets can be used to construct $C_4$-free graphs. If $\A$ is a Sidon set in the abelian group $X$, the sum graph $G_{X, \A}$ with vertex set $X$ and edges set $E=\{\{x, y\}:x eq y, x+y\in \A\}$ is $C_4$-free. Using the sum graph of a Sidon set of type Singer we verify a conjecture of Erdös and Simonovits concerning the number of copies of $C_4$ in a graph with $ex(q^2+q+1, C_4)+1$ edges. Further, we give a sufficient condition for the sum graph of a Sidon set to be $C_4$-saturated and describe new $C_4$-saturated graphs.

研究の動機と目的

• 極値的グラフ理論におけるサイドン集合と $C_4$-飽和グラフの関係を調査すること。
• エドősとシモノビッチの予想、すなわち $ex(n, C_4) + 1$ 条件を持つグラフにおける $C_4$ の最小個数に関する予想を検証すること。
• サイドン集合の和グラフが $C_4$-飽和であるための条件を特定すること、特に集合の最大性との関係を明らかにすること。
• ボーズ・チャウラ型、シンガー型、ルズァ型、およびカルテシアン積を用いたサイドン集合から、新しい $C_4$-飽和グラフの族を構成すること。

提案手法

• アーベル群 $X$ 内のサイドン集合 $\mathcal{A}$ から和グラフ $G_{X,\mathcal{A}}$ を構成し、$x+y \in \mathcal{A}$ であるペア $\{x,y\}$ 間に辺を張る。
• シンガー型サイドン集合のゼロ欠損性を用いて $\mathcal{A} - \mathcal{A} = X$ を保証し、密な辺カバレッジを実現する。
• $T(z)$ を、$G_{X,\mathcal{A}}$ 内で $2z$ と $-z$ の間の3パスの数として定義し、辺追加による $C_4$ の生成数を制限する。
• $z \notin \mathcal{A}$ に対して $|T(z)| \geq 4$ が成り立つならば、$G_{X,\mathcal{A}}$ は $C_4$-飽和であることを証明する。
• シンガー、ボーズ・チャウラ、ルズァなど、サイドン集合の構成定理を応用し、明示的な $C_4$-飽和グラフを生成し、その $C_4$-多重度を計算する。
• 組合せ的評価とモジュラー算術（例：$\mathbb{F}_p$ 上）を用いて $|T(z)|$ を推定し、$C_4$ の個数に関する定量的下界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンガー型サイドン集合の和グラフは、極値的タラン数 $ex(q^2+q+1, C_4)$ を達成するか？
• RQ2 ボーズ・チャウラ型、シンガー型、ルズァ型、およびカルテシアン積を用いたサイドン集合の構成により、$ex(n, C_4)+1$ 條件を持つグラフにおける $C_4$-多重度に関するエドős-シモノビッチの予想を検証できるか？
• RQ3 サイドン集合の和グラフが $C_4$-飽和であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 サイドン集合の和グラフに辺を1つ追加すると、$C_4$ のコピーはいくつ生成されるか？
• RQ5 サイドン集合の最大性とその関連する和グラフの $C_4$-飽和性との関係は何か？

主な発見

• $\mathbb{Z}_{q^2+q+1}$ 内のシンガー型サイドン集合の和グラフは、$q > 13$ である素数べきに対して $ex(q^2+q+1, C_4)$ 個の辺を持ち、$C_4$-自由である。
• この和グラフに任意の辺を追加すると、少なくとも $q - 2 = \sqrt{|X|} + o(\sqrt{|X|})$ 個の $C_4$ のコピーが生成され、このクラスについてエドős-シモノビッチの予想が裏付けられる。
• 和グラフ $G_{X,\mathcal{A}}$ が $C_4$-飽和であるための必要十分条件は、サイドン集合 $\mathcal{A}$ が最大であることである。
• ボーズ・チャウラ型、シンガー型、ルズァ型、およびカルテシアン積のサイドン集合について、$\mathcal{A} = \mathcal{I}_\alpha$ のとき、辺を1つ追加すると少なくとも $p - 8$ 個の $C_4$ のコピーが生成される。
• 辺追加によって生成される $C_4$ の個数は、$|T(z)| - 3$ で下から抑えられ、$z \notin \mathcal{A}$ のとき $|T(z)| = |\mathcal{A}| = \sqrt{|X|} - \delta$ である。
• サイドン集合を用いた $C_4$-飽和グラフの構成により、明示的な $C_4$-多重度の保証がある新しい極値グラフの族が得られる。