[論文レビュー] Sidorenko's conjecture for blow-ups

David Conlon, Joonkyung Lee|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、複雑なグラフをより単純な形に変換できる画期的な「ホルダーの技」を用いて、一般化された新しい種類の二部グラフに対してシドレンコの予想を証明する。主な結果は、各次数 $k$ に対して、二部グラフの一方の部に属する次数 $k$ の頂点数が二項係数を含む整除条件を満たすならば、予想が成り立つことである。これにより、任意の二部グラフ $H$ に対して、あるブローモー $H_A^p$ が予想を満たすことが示され、シドレンコの予想の $L^p$ バージョンが確認される。

ABSTRACT

A celebrated conjecture of Sidorenko and Erdős-Simonovits states that, for all bipartite graphs $H$, quasirandom graphs contain asymptotically the minimum number of copies of $H$ taken over all graphs with the same order and edge density. This conjecture has attracted considerable interest over the last decade and is now known to hold for a broad range of bipartite graphs, with the overall trend saying that a graph satisfies the conjecture if it can be built from simple building blocks such as trees in a certain recursive fashion. Our contribution here, which goes beyond this paradigm, is to show that the conjecture holds for any bipartite graph $H$ with bipartition $A \cup B$ where the number of vertices in $B$ of degree $k$ satisfies a certain divisibility condition for each $k$. As a corollary, we have that for every bipartite graph $H$ with bipartition $A \cup B$, there is a positive integer $p$ such that the blow-up $H_A^p$ formed by taking $p$ vertex-disjoint copies of $H$ and gluing all copies of $A$ along corresponding vertices satisfies the conjecture. Another way of viewing this latter result is that for every bipartite $H$ there is a positive integer $p$ such that an $L^p$-version of Sidorenko's conjecture holds for $H$.

研究の動機と目的

• 準ランダムグラフにおける二部グラフのコピー数の最小値に関する extremal graph theory の長年の予想を解決すること。
• 木や弱くノルム化可能なグラフからの再帰的構成を超えて、シドレンコの予想を満たすグラフの既知のクラスを拡張すること。
• 任意の二部グラフ $H$ に対して、正の整数 $p$ が存在し、そのブローモー $H_A^p$ が予想を満たすことの確立。
• 複雑な二部グラフをより取り扱いやすい形に還元するための新しい手法「ホルダーの技」の導入。

提案手法

• ホルダーの不等式を活用して、複雑なグラフのホモモーフィズム密度を、より単純で構造的なグラフのそれと関連付ける新しい技法「ホルダーの技」を導入する。
• 頂点集合の置換による平均化を用いて、二部グラフの一方の部の次数分布に基づいて変換されたグラフ $J$ を定義する。
• 累乗関数の凸性とホルダーの不等式を用いて、ホモモーフィズム密度 $t_H(G)$ を $t_{K_2}(G)^{e(H)}$ で下から抑え込み、これが予想される下界であることを示す。
• 頂点 $B$ の次数 $k$ を持つ頂点数が $\binom{|A|}{k}$ で割り切れるようなグラフに対して、この手法を適用し、平均化プロセスが適切に定義された可積分関数を生むことを保証する。
• 変換されたグラフ $J$ が構造的に単純であり、弱くノルム化可能なグラフの既知の性質を持つことから、シドレンコの予想が成り立つことを証明する。
• ブローモー $H$ が $A$ に沿って構成可能であることを同様の枠組みで分析できることを用い、十分に大きな $p$ に対して $H_A^p$ が予想を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木に類似した再帰的構成によって得られない二部グラフに対しても、シドレンコの予想は成り立つか？
• RQ2 構造的および解析的技法を用いて、任意の二部グラフのブローモーに対し、予想を確立できるか？
• RQ3 二部グラフの一方の側の次数分布にどのような条件が課されると、シドレンコの予想が成立するか？
• RQ4 すべての二部グラフに対して成り立つ一般化された $L^p$ バージョンのシドレンコの予想は存在するか？
• RQ5 「ホルダーの技」は、複雑なグラフのホモモーフィズム不等式を、より単純で既知のケースに体系的に還元できるか？

主な発見

• 二部グラフ $H$ が二部分割 $A \cup B$ を持つとき、各 $k$ に対して $B$ に属する次数 $k$ の頂点数が $\binom{|A|}{k}$ で割り切れるならば、シドレンコの予想は成り立つ。
• 任意の二部グラフ $H$ に対して、正の整数 $p$ が存在し、そのブローモー $H_A^p$ がシドレンコの予想を満たす。
• $L^p$ バージョンのシドレンコの予想は、すべての二部グラフ $H$ に対して成り立つ。つまり、ある $p \geq 1$ に対して $H_A^p$ が予想を満たす。
• 証明は、置換による平均化とホルダーの不等式を用いて、次数構造が制御された単純なグラフ $J$ に問題を還元する画期的な「ホルダーの技」に依存している。
• もし $H$ が $B$ 側で正則であれば、整除条件を課さずに $|B| \geq \binom{|A|}{r}$ であれば予想が成り立つ。
• 局所版の予想が確立された：任意の $\varepsilon, q > 0$ に対して、辺密度 $q$ の大きなグラフは、$H$-コピーの密度が $q^{e(H)}$ から $\varepsilon$ 以内にあるような相異なる頂点の組を含む。