[論文レビュー] Siegel metric and curvature of the moduli space of curves

Elisabetta Colombo, Paola Frediani|ArXiv.org|May 22, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲線のモジュライ空間 $M_g$ 上のシーゲル計量について研究しており、これは、 principally polarized abelian varieties のモジュライ空間 $A_g$ への周期写像によって誘導される。本稿では、シュフィアー変異に沿ったホロモルフィック断面曲率について、$A_g$ の曲率と第二ガウス写像の関係で明示的な公式を導出し、シーゲル計量のケーラー形式がデリーニュ＝マクマーフィー型コンパクト化 $¯{M}_g$ 上で閉じたカレントとして拡張可能であり、そのコホモロジー類が $¯{\pi}\lambda$ であることを示している。ここで $¯{\lambda}$ はホッジバンドルの第一チャーン類である。

ABSTRACT

We study the curvature of the moduli space M_g of curves of genus g with the Siegel metric induced by the period map. We give an explicit formula for the holomorphic sectional curvature of M_g along a Schiffer variation at a point P on the curve X, in terms of the holomorphic sectional curvature of A_g and the second Gaussian map. Finally we extend the Kaehler form of the Siegel metric as a closed current on the Deligne-Mumford compatification of M_g and we determine its cohomology class as a multiple of the first Chern class of the Hodge bundle.

研究の動機と目的

• 曲線のモジュライ空間 $M_g$ の曲率的性質を、$A_g$ への周期写像によって誘導されるシーゲル計量に関して研究すること。
• 曲線上の点 $P$ におけるシュフィアー変異 $\xi_P$ に沿った $M_g$ のホロモルフィック断面曲率について、明示的な公式を導出すること。
• デリーニュ＝マクマーフィー型コンパクト化 $¯{M}_g$ 上で閉じたカレントとして拡張されたシーゲル計量のケーラー形式のコホモロジー類を特定すること。
• 特異点（ウェイエルシュトラウス点および三重正則線形系列の分岐点）において、$M_g$ の曲率が $A_g$ の曲率と一致する役割を分析すること。

提案手法

• シーゲル計量は、$M_g$ から $A_g$ への周期写像 $j: M_g \to A_g$ を通じて、シーゲル上半平面 $H_g$ 上の $Sp(2g,\mathbb{R})$-不変計量を引き戻すことによって得られる。
• $M_g^{(n)}$ 上のシーゲル計量の曲率は、埋め込み $j^{(n)}: M_g^{(n)} \to A_g^{(n)}$ の第二基本形式を用いて計算され、これが第二ガウス写像 $\mu_2: I_2(K_X) \to H^0(X, 4K_X)$ を引き上げることを示している。
• $M_g^{(n)}$ のシュフィアー変異 $\xi_P$ に沿ったホロモルフィック断面曲率は、$A_g^{(n)}$ の曲率と $\mu_2$ のノルムの関数として表現される。
• シーゲル計量のケーラー形式は、$¯{A}_g^{(n)}$ 上の拡張されたホッジ計量カレントの引き戻しを用いて、$¯{M}_g^{(n)}$ 上で閉じたカレントとして拡張される。この際、周期写像の拡張 $¯{j}: ¯{M}_g^{(n)} \to ¯{A}_g^{(n)}$ を用いる。
• 拡張されたケーラー形式のコホモロジー類は、安定曲線の1パラメータ族（固定の $g-1$ 次曲線に接続された変動する楕円曲線）に沿って評価することで計算され、ウォルパートのサイクルを用いる。
• コホモロジー類 $[\omega] = c\lambda$ の定数 $c$ は、基本領域上の積分を比較することで決定され、$c = \pi$ が得られ、したがって $[\omega] = \pi\lambda$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーゲル計量のホロモルフィック断面曲率は、シュフィアー変異 $\xi_P$ に沿って $A_g$ のそれとどのように比較できるか？
• RQ2 曲線上の点 $P$ がどのような条件下に置かれていると、$M_g$ の $\xi_P$ に沿ったホロモルフィック断面曲率が $A_g$ のそれに等しくなるか？
• RQ3 シーゲル計量のケーラー形式は、デリーニュ＝マクマーフィー型コンパクト化 $¯{M}_g$ 上で閉じたカレントとして拡張可能か？もしそうなら、そのコホモロジー類は何か？
• RQ4 $M_g$ の曲率と第二ガウス写像 $\mu_2$ の間には、どのような明示的関係があるか？
• RQ5 曲率は、$¯{M}_g$ の境界付近で漸近的にどのように振る舞うか？

主な発見

• シュフィアー変異 $\xi_P$ に沿った $M_g$ のホロモルフィック断面曲率は、$P$ がハイパーオービック曲線のウェイエルシュトラウス点、または三重正則線形系列の分岐点でない限り、$A_g$ のそれよりも厳密に小さい。
• ハイパーオービック曲線のウェイエルシュトラウス点、または三重正則線形系列の分岐点である特殊な場合に、$M_g$ の $\xi_P$ に沿ったホロモルフィック断面曲率は正確に $-1$ となり、$A_g$ のそれと一致する。
• シーゲル計量のケーラー形式は、デリーニュ＝マクマーフィー型コンパクト化 $¯{M}_g$ 上で閉じたカレントとして拡張可能であり、$H^2(\u00af{M}_g, \mathbb{C})$ 内に明確に定義されたコホモロジー類を定義する。
• 拡張されたケーラー形式のコホモロジー類は $\pi\lambda$ であり、ここで $\lambda$ は $¯{M}_g$ 上のホッジバンドルの第一チャーン類である。
• 周期写像 $j^{(n)}: M_g^{(n)} \to A_g^{(n)}$ の第二基本形式は、すべての非ハイパーオービック曲線で非ゼロであり、曲率公式は第二ガウス写像 $\mu_2$ のノルムに明示的に依存する。
• 曲率計算は、$¯{A}_g^{(n)}$ 上へのホッジ計量の対数的特異点を伴う拡張に依存しており、これにより関連するカレントを $¯{M}_g^{(n)}$ 上に引き戻すことが可能になる。