[論文レビュー] Siegel Modular Forms

Gerard van der Geer|ArXiv.org|May 12, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 67被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、有限体上の曲線の有理点数を用いて、 genus 2 のベクトル値 Siegel cusp form における Hecke作用素のトレースを計算する新規な手法を提示する。Eichler-Shimura 同型を活用することで、Harder の、genus 2 Siegel modular form と楕円モジュラー形式の固有値の間の合同関係に関する予想に対して強力な計算的証拠を提供する。4057、3779、367 などの特定の素数を法として、複数のケースで合同関係が検証された。

ABSTRACT

Lectures on Siegel modular forms given in Nordfjordeid. Besides a survey on Siegel modular forms it presents the joint work with Carel Faber on vector-valued Siegel modular forms of genus 2 and it gives evidence for a conjecture of Harder on congruences between g=1 and g=2 forms.

研究の動機と目的

• genus 2 のベクトル値 Siegel cusp form における Hecke作用素のトレースを計算するための手法を開発すること。
• genus 2 Siegel modular form と楕円モジュラー形式の固有値の間の合同関係に関する Harder の予想に証拠を提供すること。
• 明示的なフーリエ係数の公式が得られない状況においても、有限体上の点数によるコhomology的手法が Hecke 固有値を効果的に計算できることを示すこと。
• アーベル曲面のモジュライ空間の幾何と Siegel modular form の算術的性質との間の関係を確立すること。

提案手法

• Eichler-Shimura 同型を用い、ベクトル値 cusp form における Hecke作用素のトレースを、有限体上に定義された曲線の有理点数によって計算する。
• 素数 p における Hecke作用素のトレースを、有限体上に定義された genus 2 曲線の有理点数の数え上げに依存する。
• 拡張体上での点数から、作用素の特徴多項式を再構成し、固有値の計算を可能にする。
• 得られた固有値を楕円モジュラー形式の固有値と比較し、素数を法とする合同関係の有無を検証する。
• レベル 1 で重み (j,k)（j,k ≥ 1）の形式に対して、関連するガロア表現が非分岐であるケースに焦点を当てる。
• 特定の代数的整数のノルムが予測された素数で割り切れるかどうかを検証することで、手法の妥当性を確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 2 のベクトル値 cusp form における Hecke作用素のトレースは、有限体上の点数から計算されたトレースと一致するか？
• RQ2 Harder の予想が示すように、genus 2 Siegel modular form と楕円モジュラー形式の固有値間に合同関係が存在するか？
• RQ3 principally polarized abelian varieties のモジュライ空間上の局所系統のコホモロジーは、有限体上の点数の数え上げによって効果的に計算可能か？
• RQ4 genus 2 と genus 1 のモジュラー形式の間で、正確にどの素数を法として合同関係が成立するか？
• RQ5 Hecke作用素の特徴多項式から得られる代数的整数は、関連する数体の算術とどのように関係しているか？

主な発見

• 重み (28,0) の正規化固有形式に対して、固有値 a(2) = -4140 ± 108√18209 であり、6216 + 72√25249 + 2^7 + 2^20 - a(2) のノルムが 4057 で割り切れることが確認され、予想が裏付けられた。
• (j,k) = (18,7) の場合、特徴多項式 g は二つの四次多項式に分解され、関連する代数的整数のノルムが 3779 で割り切れることが確認され、3779 を法とする合同関係が裏付けられた。
• (j,k,r) = (32,4,38) の場合、二つの合同関係の素数が得られ、関連する数体におけるノルム計算により両方とも検証された。
• 重み (j,k) が (6,8) から (32,4) の間の 25 種類の異なるケースについて、41, 73, 97, 157, 367, 4289, 593, 15511, 83 などの素数を法として、合同関係が成功裏に検証された。
• 重み (j,k) = (8,13) の場合、特徴多項式 g は四つの二次多項式に分解され、表に示された素数（61 や 211 を含む）を法とする合同関係が、本手法によって確認された。
• 本手法により、複数の重みとレベルにおいて Harder の予想を体系的かつ検証可能にテストする方法が提供され、すべての結果が予想された合同関係と整合的であった。