[論文レビュー] Siegel modular forms (mod p) and algebraic modular forms

Alexandru Ghitza|ArXiv.org|Jun 13, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、素数 p におけるモジュラー形式とクaternion代数上の自動形式の間のセールの対応を、より高い genus のシーゲルモジュラー形式へ一般化する。p を法とする genus g のシーゲルモジュラー形式から得られるヘッケ固有値系が、p および ∞ で分岐するクォータニオン代数 B に関する unitary similitude 群 GU_g(B) 上の代数的モジュラー形式を通じて、アーベル簇のモジュライ空間の超特異点集合への制限によって得られることを確立する。

ABSTRACT

In a letter to Tate, Serre proves that the systems of Hecke eigenvalues given by modular forms (mod p) are the same as the ones given by locally constant functions on an adelic double coset space constructed from the endomorphism algebra of a supersingular elliptic curve. We generalize this result to Siegel modular forms (mod p), proving that the systems of Hecke eigenvalues obtained from them are the same as the ones given by algebraic modular forms (mod p) on a quaternionic unitary group, as defined by Gross. The correspondence is obtained by restricting to the superspecial locus of the moduli space of abelian varieties.

研究の動機と目的

• 楕円モジュラー形式（p を法とする）に関するセールの結果を、より高い genus のシーゲルモジュラー形式（p を法とする）へ拡張し、再帰的群上のモジュラー形式と自動形式の間の関係を一般化すること。
• p を法とするシーゲルモジュラー形式のヘッケ固有値系と、クォータニオン代数上の unitary similitude 群 GU_g(B) 上の代数的モジュラー形式のそれらとの間の対応を確立すること。
• アーベル簇のモジュライ空間の超特異点集合を、シーゲルモジュラー形式と代数的モジュラー形式を結ぶ幾何的枠組みとして用いること。
• p を法とするグロスの代数的モジュラー形式理論を、特に GU_g(B) に対して高次元の再帰的群へ一般化し、ヘッケ作用と整合することを確認すること。
• p を法とするシーゲルモジュラー形式から得られるヘッケ固有値系が、正確に GU_g(B) 上の代数的モジュラー形式から生じることを証明し、超特異点集合への還元とデュドネー加群理論を用いること。

提案手法

• 問題を、シーゲルモジュラー多様体上の超特異点と GU_g(B) に関連する二重コセット空間との間のヘッケ不変な全単射を構成することに還元する。
• ハッセ不変量を用いて、シーゲルモジュラー形式を超特異点集合に制限する操作がヘッケ作用と整合することを示す。
• コーディア＝スペンサー同型と微分形式のねじれを用いて、アーベル多様体上の微分形式と自動形式的データを関連付ける。
• 超特異アーベル多様体の p-分岐群のデュドネー加群理論を応用し、局所構造とシンプレクティック形式を解析する。
• クォータニオンヘルミート空間および類似群の理論を用いて、有限体上での GU_g(B) 上の代数的モジュラー形式を定義する。
• ガロア降下とベースチェンジ技術を用い、𝔽_q 上で定義された固有値が 𝔽_p 上の固有形式に引き上げられることを示し、固有空間上のガロア作用に関する補題に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円モジュラー形式（p を法とする）とクォータニオン代数上の自動形式の間のセールの対応を、より高い genus のシーゲルモジュラー形式へどのように一般化できるか？
• RQ2 p を法とするシーゲルモジュラー形式のヘッケ固有値系と、GU_g(B) 上の代数的モジュラー形式のそれらとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 アーベル多様体のモジュライ空間の超特異点集合が、genus g の p を法とするシーゲルモジュラー形式の関連する自動形式的データをどの程度までパラメトライズするか？
• RQ4 p を法とするシーゲルモジュラー形式上のヘッケ作用素と、GU_g(B) 上の代数的モジュラー形式上のそれらとの間の対応は何か？
• RQ5 p を法とするシーゲルモジュラー形式から得られる固有値系は、𝔽_p 上の GU_g(B) の有限次元表現から生じると見なせるか？

主な発見

• genus g の p を法とするシーゲルモジュラー形式のヘッケ固有値系は、[Gro99] および [Gro98] で定義された GU_g(B) 上の代数的モジュラー形式から生じる固有値系と、双対性をもつ。
• この対応は、幾何が単純化され、自動形式的データが容易に得られるアーベル多様体のモジュライ空間の超特異点集合へのシーゲルモジュラー形式の制限によって実現される。
• p を法とするシーゲルモジュラー形式から、二重コセット空間 GU_g(B)(𝔸_f)/GU_g(B)(ℚ) 上の関数への制限写像は、ヘッケ作用と可換であり、固有値系において全単射である。
• p を法とするシーゲルモジュラー形式からの固有値系が、ガロア降下により 𝔽_p 上の固有形式に引き上げられることを示し、それが GU_g(B) の有限次元表現から生じることを確認した。
• 証明は、ハッセ不変量とヘッケ作用の整合性、および超特異アーベル多様体の p- torsion 構造の解析にデュドネー加群理論を用いることに依拠している。
• この結果は、genus 1 に対するセールの元々の定理を genus g > 1 へ一般化し、p を法とするモジュラー形式のラングランス型対応の高次元版を確立する。