[論文レビュー] Siegel modular forms of degree three and the cohomology of local systems

Jonas Bergström, Carel Faber+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Advanced Algebra and Geometry被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、 principally polarized abelian threefolds のモジュライ空間 $τ_3$ 上のシンプレクティック局所系のモチビックオイラー特徴量についての予想的公式を提示し、これを3変数のシーゲルモジュラー形式および局所系のコホロロジーと結びつける。有限体上の genus 3 曲線および abelian threefolds の点数の計算を用いて、次元公式、ヘッケ作用素のトレース、genus 1 から genus 3 へのアップラップ、およびハーダー型の新しい合同式を予測する明示的公式を導出する。

ABSTRACT

We give an explicit conjectural formula for the motivic Euler characteristic of an arbitrary symplectic local system on the moduli space A_3 of principally polarized abelian threefolds. The main term of the formula is a conjectural motive of Siegel modular forms of a certain type; the remaining terms admit a surprisingly simple description in terms of the motivic Euler characteristics for lower genera. The conjecture is based on extensive counts of curves of genus three and abelian threefolds over finite fields. It provides a lot of new information about vector-valued Siegel modular forms of degree three, such as dimension formulas and traces of Hecke operators. We also use it to predict several lifts from genus 1 to genus 3, as well as lifts from G_2 and new congruences of Harder type.

研究の動機と目的

• principally polarized abelian threefolds のモジュライ空間 $τ_3$ 上のシンプレクティック局所系に対するモチビックオイラー特徴量の公式を予想すること。
• 有限体上の点数の計算を用いて、これらの局所系のコホロロジーを3変数のベクトル値シーゲルモジュラー形式に結びつけること。
• シーゲルモジュラー形式の次元公式、ヘッケ作用素のトレース、およびハーダー型の新しい合同式を予測すること。
• コホロロジー的データを用いて、genus 1 から genus 3 へのアップラップおよび $Γ_2$ から genus 3 へのアップラップを特定すること。

提案手法

• 有限体 $×_q$ 上の genus 3 曲線および abelian threefolds の点数の計算と Lefschetz のトレース公式を用いて、コホロロジー群上のフロベニウス作用素のトレースを計算する。
• この手法は、Weil のアイデアに拠拠り、$×_q$ 上での点数の数え上げが、$×$ 上に定義された算術的モジュライ空間のコホロロジー的情報をもたらすことに基づく。
• 予想的なモチビックオイラー特徴量は、シーゲルモジュラー形式からの主要項と、低次元の寄与から来る「余分な」項に分解される。
• 余分な項は、数値的データに基づき、genus 1 および genus 2 の寄与によるモチビックオイラー特徴量で表せるものと予想される。
• 動機の圏のグロテンディーク環を用いて、モジュラー形式上のヘッケ作用素のトレースと、$Ét$-コホロロジー上のフロベニウス作用素のトレースを関連付ける。
• $N_q(a,b,c)$、すなわち $×_q$ 上の点数を数え上げ、ヘッケ固有値の合同式と比較することで、予想を数値的検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $τ_3$ 上のシンプレクティック局所系 $Ã_{a,b,c}$ のモチビックオイラー特徴量は何か？
• RQ2 有限体上の abelian threefolds および曲線の点数の計算は、$τ_3$ のコホロロジー不変量をどのように計算できるか？
• RQ3 genus 1 から genus 3 へのシーゲルモジュラー形式のアップラップは存在するか？ そして、それらはコホロロジーにどのように現れるか？
• RQ4 コホロロジー的情報から、ハーダー型の新しい合同式を予測できるか？
• RQ5 モチビックオイラー特徴量の分解における「余分な」項の構造は何か？

主な発見

• モチビックオイラー特徴量 $e_c(τ_3, Ã_{a,b,c})$ は、シーゲルモジュラー形式からの主要項 $S[n(λ)]$ と「余分な」項 $e_{3,\text{extra}}(λ)$ に分解されると予想される。後者は、genus 1 および genus 2 の寄与により表せる。
• $(a,b,c) = (16,14,0)$ の場合、すべての $q \leq 17$ に対して合同式 $\lambda_q(F) \equiv_\ell \lambda_q(f)(\lambda_q(g) + q^{c+1}\lambda_q(h))$ が $\ell=71$ で成り立つ。これは、genus 1 から genus 3 へのアップラップの予想的構成を支持する。
• その公式は、$(a,b,c) = (16,14,0)$ の場合、$s^\text{gen}_{a-b,b-c,c+4} = 1$ を予測し、臨界値 $\Lambda'({\rm Sym}^2(f)\otimes g\otimes h, a+b+5)$ が $\ell=71$ で割り切れることが示され、数値的データと整合する。
• $(a,b,c) = (10,0,0)$ の場合、オイラー特徴量は $-2L^3 - S[12]L^3$ であり、重み12のモジュラー形式からの非自明な寄与を示している。
• 予想によれば、$(a,b,c) = (12,0,0)$ の場合、$e_c(τ_3, Ã_{a,b,c})$ は $S[16]$ を含み、$(14,0,0)$ の場合 $S[18]$ を含む。これは主要項が重みに依存することを示している。
• $(a,b,c) = (8,0,0)$ の場合のオイラー特徴量における余分な項は $-L^3 - L^2 + S[12]$ であり、高重量における予想的構造を確認している。