[論文レビュー] Siegel's theorem and the abc conjecture

Andrea Surroca|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ABC予想が成り立つならば、S-整数点の高さに対する明示的な上界が得られることを示すことによって、代数曲線上の整数点に関するシーゲルの定理の効果的バージョンを条件付きで確立する。この上界は、集合Sおよび数体Kに明示的な依存関係を持つ。主な結果は、ベリュイの定理と高さ理論を介してABC予想とディオファントス幾何における効果的境界を結びつけるものである。

ABSTRACT

Following N. Elkies ("ABC implies Mordell") we show that the abc conjecture of Masser-Oesterle implies an effective version of Siegel's theorem about integral points on algebraic curves, i.e. an upper bound for the S-integral points where the dependence on S is explicit. The converse statement is also announced in this note. For both results, the main geometric tool is a theorem of G.V. Belyi.

研究の動機と目的

• ABC予想を仮定して、代数曲線上の整数点に関するシーゲルの定理の効果的バージョンを確立すること。
• 上界が集合Sに依存する部分を明示的に行うこと、特に素イデアルの対数ノルムの観点から行うこと。
• 逆方向の考察：効果的バージョンのシーゲルの定理がABC予想を示唆するか否か。
• 幾何的道具、特にベリュイの定理を用いて、ABCと整数点との間の関係を構築すること。
• 体の次数および判別式をパrameterとする、S-整数点の高さに対する仮説的枠組みを提供すること。

提案手法

• ABC予想を明示的定数を伴って用い、負のオイラー・ポワンカレ特性をもつ曲線上のS-整数点の高さの効果的境界を導出すること。
• 曲線からP^1への適切な準同型を、分岐が制御可能になるようにベリュイの定理を用いて構成すること。
• 高さ理論を用いて、点の高さをS内の素イデアルの対数ノルムおよび数体の判別式に関連付けること。
• P^2(K)内の点の算術的複雑性を測るために、radical関数rad(x)を用い、特に素イデアルの台に基づいて評価すること。
• 局所的次数および付値の推定を用いて、f(x)の高さおよびSと補助的集合Tに関する和を用いて、rad(P_x)の上界を導出すること。
• h_{U,K}(x) ≤ -1/(ε + χ(U)) Σ_{p∈S} log N_{K/Q}(p) + γ という高さ不等式を確立すること。ここでγはK、U、εに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ABC予想は、集合Sの場所に明示的な依存関係をもつ、シーゲルの定理の効果的バージョンを示唆するか？
• RQ2 ABC予想の定数c_{ε,K}が効果的であるならば、高さの上界における定数γも効果的に行えるか？
• RQ3 高さの上界が数体Kの判別式d_Kにどのように依存するか？
• RQ4 逆方向があるか：効果的バージョンのシーゲルの定理はABC予想を示唆するか？
• RQ5 有限次拡大L/Kにおいて、次数がδで有界な範囲で、S-整数点の高さの上界は一様に有界であるか？

主な発見

• ABC予想は、χ(U) < 0 を満たす曲線U上のS-整数点の高さに対して、Sおよび数体Kに明示的な依存関係をもつ効果的上界を示唆する。
• この上界は、h_{U,K}(x) ≤ -1/(ε + χ(U)) Σ_{p∈S} log N_{K/Q}(p) + γ の形を取り、γはxおよびSに依存しない。
• ABC予想の定数c_{ε,K}が効果的であるならば、γも効果的であり、特にc_{ε,K}が特定の形をとるとき、γ = -2/(ε + χ(U)) log d_K + κ となる。
• 仮説1のもとでは、次数がδで有界な有限拡大L/Kについて、上界は一様であり、定数はU、h_U、δにのみ依存する。
• 証明は、分岐が制御可能なP^1への準同型を構成するためにベリュイの定理に依存しており、これによりradical推定が可能になる。
• 点P_xのradicalは、f(x)の高さ、Sに関する和、およびTに関する補助的和の線形結合によって上から抑えられ、係数は genus および次数に依存する。