[論文レビュー] Siegel Zeros and Sarnak's Conjecture

Jake Chinis|arXiv (Cornell University)|May 31, 2021

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

シーゲル零点の存在を仮定すると、本稿ではリーマン・リュービル関数の $k$-点相関に関するチャウラの予想が自然数の部分列に沿って成り立つことを証明する。ディリクレの特徴とスクリーブ理論的手法を用いた混合乗法的近似により、著者らはリーマン・リュービル関数が任意のゼロエントロピー列と漸近的に直交することを確立し、同じ仮定の下でサルナックの予想を確認する。

ABSTRACT

Assuming the existence of Siegel zeros, we prove that there exists an increasing sequence of positive integers for which Chowla's Conjecture on $k$-point correlations of the Liouville function holds. This extends work of Germán and Kátai, where they studied the case $k=2$ under identical hypotheses. An immediate corollary, which follows from a well-known argument due to Sarnak, is that Sarnak's Conjecture on Möbius disjointness holds. More precisely, assuming the existence of Siegel zeros, there exists a subsequence of the natural numbers for which the Liouville function is asymptotically orthogonal to any sequence of topological entropy zero.

研究の動機と目的

• シーゲル零点の存在を仮定して、ゲルマンとカタイの2点相関に関する結果を一般の $k$-点相関に拡張すること。
• シーゲル零点が存在する場合、リーマン・リュービル関数の $k$-点相関が部分列に沿ってキャンセルする性質を確立すること。
• チャウラの予想からの既知の還元を介して、同じ仮定の下でサルナックの予想（モービウス関数の直交性）が成り立つことを示すこと。
• 小さな素数では一致し、大きな素数ではディリクレ特徴関数と一致するような混合乗法的関数によるリーマン・リュービル関数の近似を精緻化すること。
• スクリーブ理論的推定における誤差項を、$r$、$A_x$、$u$ を丁寧に選択することで最適化すること。

提案手法

• リーマン・リュービル関数 $\lambda$ を、$p \leq r$ で $\lambda$ と一致し、$p > r$ で実素性を持つディリクレ特徴関数 $\chi_\ell$ と一致する混合乗法的関数 $\lambda_r$ で近似する。
• $\lambda_r$ の構造を用いて、$\lambda$ の $k$-点相関を特徴関数和に結びつけ、シーゲル零点仮定の下で既知の推定を用いてその有界性を示す。
• 小素因数を持つ整数の寄与を制御するため、$\lambda_r$ の乗法的構造を用いた事前スクリーブの議論を適用する。
• パラメータ $u$ を用いてスクリーブ過程の誤差を制御し、誤差項が $\ll_k x u^{-u/2}$ であることを示し、$u \asymp (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ のとき、これは無視可能になることを示す。
• $r = x^{1/\alpha}$、$A_x$、$u$ のパラメータを最適化して、競合する誤差項をバランスさせ、最適な減衰を得るために $\alpha = (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ を得る。
• 積 $\prod_{\max h_i < p \leq r} (1 - \frac{k+1}{p}) \ll_k 1$ が成り立つことを利用し、主項を制御する。これは、大きな素数におけるオイラー積の収束に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーゲル零点の存在を仮定すると、リーマン・リュービル関数の $k$-点相関に関するチャウラの予想は成り立つか？
• RQ2 ゲルマンとカタイが $k=2$ の場合に用いた手法は、同じ仮定の下で一般の $k \geq 3$ に拡張可能か？
• RQ3 シーゲル零点の存在は、サルナックの予想におけるモービウス関数の直交性をどの程度まで示唆するか？
• RQ4 高次相関を制御するために、リーマン・リュービル関数を乗法的関数の組み合わせで効果的に近似する方法は何か？
• RQ5 スクリーブ理論的近似における誤差項を最小化するパラメータ $r$、$A_x$、$u$ の最適な選択は何か？

主な発見

• シーゲル零点が存在し、$\eta_\ell > \exp\exp(30)$ であると仮定すると、部分列 $x \in [q_\ell^{10}, q_\ell^{(\log\log\eta_\ell)/3}]$ に沿って、$k$-点相関和 $\sum_{n \leq x} \lambda(n+h_1)\cdots\lambda(n+h_k) = o_k(x)$ が成り立つ。
• $k$-点相関推定における誤差項は $\ll_k x u^{-u/2}$ で有界であり、$u \asymp (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ のとき $o(x)$ となる。
• 主項は積 $\prod_{\max h_i < p \leq r} (1 - \frac{k+1}{p})$ を用いて制御され、これは大きな素数におけるオイラー積の収束により $\ll_k 1$ である。
• $\lambda$ の $\lambda_r$ への近似により、相関和が特徴関数和に帰着され、シーゲル零点仮定の下でその値は小さくなる。
• この結果はサルナックの予想を含意する：任意のトポロジカルエントロピーがゼロである列に対して、$\mathbb{N}$ の部分列が存在し、$\lambda$ がその列と漸近的に直交する。
• 最適なパラメータ選択 $\alpha = (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ により、スクリーブの誤差項と特徴関数和推定の誤差項がバランスされ、主項が誤差項を支配するようになる。