[論文レビュー] Sieve empirical likelihood ratio tests for nonparametric functions

Jianqing Fan, J. Zhang|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|Mar 29, 2005

Statistical Methods and Inference被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、誤差分布が指定されていない場合の非パラメトリック関数に対するスィーブ・エムピリカル尤度比（SELR）検定を提案する。一般化尤度比法を誤差分布が不明な場合にまで拡張し、条件付き推定方程式とスィーブ近似を用いることで、SELR統計量は漸近的にノイズパラメータに依存しないスケーリングされたカイ二乗分布に従うことが示され、より一般的なモデル下でもウィルクスの現象が成立し、非パラメトリック検定の最適なレートを達成する。

ABSTRACT

Generalized likelihood ratio statistics have been proposed in Fan, Zhang and Zhang [Ann. Statist. 29 (2001) 153-193] as a generally applicable method for testing nonparametric hypotheses about nonparametric functions. The likelihood ratio statistics are constructed based on the assumption that the distributions of stochastic errors are in a certain parametric family. We extend their work to the case where the error distribution is completely unspecified via newly proposed sieve empirical likelihood ratio (SELR) tests. The approach is also applied to test conditional estimating equations on the distributions of stochastic errors. It is shown that the proposed SELR statistics follow asymptotically rescaled χ^2-distributions, with the scale constants and the degrees of freedom being independent of the nuisance parameters. This demonstrates that the Wilks phenomenon observed in Fan, Zhang and Zhang [Ann. Statist. 29 (2001) 153-193] continues to hold under more relaxed models and a larger class of techniques. The asymptotic power of the proposed test is also derived, which achieves the optimal rate for nonparametric hypothesis testing. The proposed approach has two advantages over the generalized likelihood ratio method: it requires one only to specify some conditional estimating equations rather than the entire distribution of the stochastic error, and the procedure adapts automatically to the unknown error distribution including heteroscedasticity. A simulation study is conducted to evaluate our proposed procedure empirically.

研究の動機と目的

• 誤差分布の完全な指定を必要としない一般化された非パラメトリック検定フレームワークの構築を目的とする。
• 誤差分布が未知である場合、特に異分散性を含む場合にも一般化尤度比法を拡張することを目的とする。
• 誤差分布が未知の非パラメトリックモデル下でも、検定統計量の漸近的カイ二乗分布（ウィルクスの現象）が成立することを確立することを目的とする。
• 非パラメトリック仮説検定において最適な非パラメトリック検定レートを達成することを目的とする。
• 条件付き推定方程式を用いて、未知の誤差構造（異分散性を含む）を自動的に処理できるロバストで適応的な手法を提供することを目的とする。

提案手法

• 完全なパラメトリック誤差分布の代わりに、条件付き推定方程式に基づくスィーブ・エムピリカル尤度比（SELR）統計量を提案する。
• カーネルスムージングとスィーブ近似を用いて、非パラメトリック関数および誤差構造を非パラメトリックに推定する。
• 帰無仮説下での検定統計量の構築に、スィーブベースの尤度比を用いたエムピリカル尤度を適用する。
• 制約下でのエムピリカル尤度最適化問題を解くためにラグランジュ乗数法を用いる。
• 標本過程理論と強収束結果を用いて、SELR統計量の漸近的分布を導出する。
• 検定統計量が、ノイズパラメータに依存しないスケールおよび自由度を持つスケーリングされた漸近的カイ二乗分布に従うことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に指定されていない誤差分布を伴う非パラメトリックモデルに対し、一般化尤度比検定を拡張できるか？
• RQ2 誤差分布が未知で異分散性を示す場合でも、尤度比統計量の漸近的カイ二乗分布（ウィルクスの現象）は成立するか？
• RQ3 提案手法は、パラメトリック誤差分布の仮定なしに、最適な非パラメトリック検定レートを達成できるか？
• RQ4 モデルの誤り指定下でも、SELR検定は一般化尤度比法と比べてパワーとロバスト性において優れているか？
• RQ5 異分散性などの未知の誤差分散構造を、明示的な分散関数のモデリングを必要とせずに、自動的に適応できるか？

主な発見

• 提案されたスィーブ・エムピリカル尤度比（SELR）統計量は、ノイズパラメータに依存しないスケール定数および自由度を持つスケーリングされた漸近的カイ二乗分布に従う。
• ウィルクスの現象は、誤差分布が指定されていない非パラメトリック回帰や異分散性を含むより一般的なモデル下でも保持される。
• SELR検定の漸近的パワーは、非パラメトリック仮説検定における最適な非パラメトリックレートに達し、その効率性が確認される。
• 本手法は、誤差分布の完全なパラメトリック形の指定を必要とせず、条件付き推定方程式の指定のみで済むため、柔軟性とロバスト性が向上する。
• 分散関数の事前の知識やモデリングを必要とせず、誤差分布が未知であっても、自動的に適応可能である。
• 推定子の収束速度は op(n⁻¹/ξ ∧ h¹/²)dn であり、帰無仮説下で検定統計量は漸近的にカイ二乗分布に同等である。