[論文レビュー] Sigma Delta quantization with Harmonic frames and partial Fourier ensembles

Rongrong Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、部分フーリエ行列および調和フレームを用いた圧縮センシングにおけるシグマデルタ量子化の最初の誤差減衰結果を確立し、フーリエ測定値のランダムな並べ替えが低周波数成分を強化し、有効なオーバースマoothingを介して多項式的誤差減衰を可能にすることを示している。第一順序および第二順序シグマデルタ量子化において、再構成誤差がそれぞれ $ m^{-1/2} $ および $ m^{-3/2} $ の割合で減少することを証明し、有効なオーバースマoothing率に依存するという予想の依存関係を確認した。

ABSTRACT

Sigma Delta quantization, a quantization method which first surfaced in the 1960s, has now been used widely in various digital products such as cameras, cell phones, radars, etc. The method samples an input signal at a rate higher than the Nyquist rate, thus achieves great robustness to quantization noise. Compressed Sensing (CS) is a frugal acquisition method that utilizes the possible sparsity of the signals to reduce the required number of samples for a lossless acquisition. One can deem the reduced number as an effective dimensionality of the set of sparse signals and accordingly, define an effective oversampling rate as the ratio between the actual sampling rate and the effective dimensionality. A natural conjecture is that the error of Sigma Delta quantization, previously shown to decay with the vanilla oversampling rate, should now decay with the effective oversampling rate when carried out in the regime of compressed sensing. Confirming this intuition is one of the main goals in this direction. The study of quantization in CS has so far been limited to proving error convergence results for Gaussian and sub-Gaussian sensing matrices, as the number of bits and/or the number of samples grow to infinity. In this paper, we provide a first result for the more realistic Fourier sensing matrices. The major idea is to randomly permute the Fourier samples before feeding them into the quantizer. We show that the random permutation can effectively increase the low frequency power of the measurements, thus enhance the quality of $ΣΔ$ quantization.

研究の動機と目的

• 圧縮センシングにおけるサブガウス型からより現実的なフーリエセンシング行列へのシグマデルタ量子化誤差解析の拡張。
• スパース信号復元において、誤差減衰が生のサンプリングレートではなく有効なオーバースマoothing率に依存するかどうかの調査。
• フーリエ測定値のランダムな並べ替えが低周波数パワーを向上させ、量子化品質を向上させることの実証。
• 現実的なセンシングモデル下での誤差減衰率に関する理論的および数値的証拠の提供。

提案手法

• 測定値の低周波数エネルギーを高めるために、部分フーリエまたは調和フレームの行をランダムに並べ替える。
• 並べ替えられた測定値に第一および第二順序のシグマデルタ量子化器を適用し、フィードバックを用いて量子化ノイズを形状化する。
• 行列ローゼンタール不等式および制限等長性性質（RIP）の境界を用いて、スパース信号再構成の誤差推定を導出する。
• 再構成にソボレフ双対復元法を用い、測定回数 $ m $ およびスパースネス $ k $ の観点から最悪ケース再構成誤差を分析する。
• ランダムな並べ替えの下で、第一順序量子化では再構成誤差が $ m^{-1/2} $、第二順序量子化では $ m^{-3/2} $ の割合で減少することを証明する。
• ランダムな信号および並べ替えのモンテカルロ平均を用いて、$ 512 $次元の信号に対して $ m $ および $ k $ を変化させた数値実験を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブガウス型行列の代わりに部分フーリエ行列を用いた場合、シグマデルタ量子化は有効なオーバースマoothing率に応じて誤差減衰を達成するか？
• RQ2 フーリエ測定値のランダムな並べ替えは、圧縮センシングにおけるシグマデルタ量子化の性能を向上させるか？
• RQ3 調和フレームおよび部分フーリエ集合に対して、第一および第二順序シグマデルタ量子化の正確な誤差減衰率は何か？
• RQ4 理論的誤差境界は、$ m $ および $ k $ に対する依存関係において最適か？
• RQ5 ランダム化量子化の性能は、並べ替えなしのフーリエ測定値の直接量子化と比べてどうか？

主な発見

• 第一順序シグマデルタ量子化の再構成誤差は $ m^{-1/2} $ の割合で減少し、定理3.2の理論的境界を確認した。
• 第二順序シグマデルタ量子化では誤差が $ m^{-3/2} $ の割合で減少し、予想された減衰率であるコンjectャー チャー3.1を裏付けた。
• 数値実験により、ランダムな並べ替えが多項式的誤差減衰をもたらす一方で、直接量子化では誤差減衰が認められないことが確認され、並べ替えの必要性が示された。
• 固定された $ m=512 $ で $ k $ を増加させたシミュレーションにより、定理3.2の誤差境界が $ m $ に関して最適であることが示された。
• 理論的分析により、ランダムな並べ替えが低周波数成分を強化し、信号対雑音比を向上させ、有効なノイズ形状化を可能にすることが分かった。
• これらの結果により、有効なオーバースマoothing率（スパースネス $ k $ に対する相対的）が、フーリエ測定値を用いた圧縮センシングにおける誤差減衰を支配することを検証した。サブガウス型からフーリエ集合への結果の拡張が実現された。