[論文レビュー] Sign changes of coefficients of half integral weight modular forms

Jan Hendrik Bruinier, Winfried Kohnen|ArXiv.org|Sep 13, 2007

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、半整数重みモジュラー形式のフーリエ係数における符号の変化を調査し、実のネーベンティプスを持つヘッケ固有形式に対して、固定された平方因子なしの $ t $ および $ N $ に割り切られない素数 $ p $ に対して、係数 $ a(tp^{2m}) $ が無限に多くの符号の変化を示すことを証明する。シムーラ上昇と $ L $-関数論を用いて、このような列に関して、条件なしの結果を確立し、弱い条件下で固有形式でない場合にも拡張する。

ABSTRACT

For a half integral weight modular form $f$ we study the signs of the Fourier coefficients $a(n)$. If $f$ is a Hecke eigenform of level $ N$ with real Nebentypus character, and $t$ is a fixed square-free positive integer with $a(t) eq 0$, we show that for all but finitely many primes $p$ the sequence $(a(tp^{2m}))_{m}$ has infinitely many signs changes. Moreover, we prove similar (partly conditional) results for arbitrary cusp forms $f$ which are not necessarily Hecke eigenforms.

研究の動機と目的

• 半整数重みモジュラー形式のフーリエ係数における符号の分布を理解すること、特に列 $ a(tn^2) $ および $ a(tp^{2m}) $ について。
• これらの係数列が無限に多くの符号の変化を示すかどうか、特に $ f $ がヘッケ固有形式または一般のカスプ形式である場合に。
• 符号の変化がカスプ形式係数に与える影響、特に二次形式の表現数において、符号の変化が主 Eisenstein 項からの逸脱を示すこと。
• 標準的予想（例えばチョウラの予想）の下で条件なしの結果を確立し、ヘッケ作用素と $ L $-関数解析を用いて新たな条件なしの定理を証明すること。
• 基本的判別式およびすべての整数における正と負の係数の等分布を示唆する数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 半整数重みカスプ形式 $ f \in S_{k+1/2}^*(N,\chi) $ を、$ S_{2k}(N/2, \chi^2) $ に属する整数重み形式へとシムーラ対応を用いて上昇させ、ヘッケ固有値構造を保存する。
• $ L $-関数理論とヴァルトスプルガーの定理を適用し、$ F $ が $ f $ の整数重み上昇であるとき、$ a(t)^2 $ を twisted $ L $-関数 $ L(F, \chi_t, s) $ の中心臨界値に関連付ける。
• 特に $ T(p) $ の作用を用いた $ S_{2k}(N/2, \chi^2) $ 上のヘッケ作用素理論を用い、固有値の境界を導出し、符号の変化が存在しないと仮定した場合の矛盾を導く。
• ペトゥルソン内積を用いて、正規直交補空間 $ S_{k+1/2}^*(N,\chi) $ を定義し、単項のシータ級数からの寄与を除外することで、カスプ形式成分の非消滅を保証する。
• [Br] の二次的 twist および $ L $-関数の非消滅に関する結果を応用し、チョウラの予想の下で符号の変化基準を確立する。
• デリーニの境界から得られる、特定の範囲 $ (-p^k - p^{k-1}, p^k + p^{k-1}) $ 内のヘッケ固有値の存在しないことを利用した背理法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたヘッケ固有形式 $ f $、平方因子なしの $ t $（$ a(t) \neq 0 $）、および $ N $ に割り切られない素数 $ p $ に対して、係数 $ a(tp^{2m}) $ は無限に多くの符号の変化を示すか？
• RQ2 固定された $ t \in \mathbb{D} $ に対して、列 $ a(tn^2) $ が無限に多くの符号の変化を示す条件は何か、特に $ f $ がヘッケ固有形式でない場合にも。
• RQ3 $ f $ がヘッケ固有形式でない場合でも、$ a(tn_t^2) $ がいくつかの $ n_t \in \mathbb{N} $ に対して符号を変えるような、無限に多くの平方因子なしの $ t $ が存在するかを証明できるか？
• RQ4 基本的判別式 $ d $ に対する係数 $ a(d) $ の符号の分布は何か？$ X \to \infty $ のとき、50対50の分布に近づくか？
• RQ5 半整数重み形式の符号の変化特性は、二次形式の表現数における誤差項とどのように関係するか？

主な発見

• 実のネーベンティプスを持つヘッケ固有形式 $ f \in S_{k+1/2}^*(N,\chi) $ および $ a(t) \neq 0 $ に対して、すべての $ N $ に割り切られない素数 $ p $ のうち、有限個を除き、列 $ (a(tp^{2m}))_m $ は無限に多くの符号の変化を示す。この結果は条件なしである。
• チョウラの予想（$ L(s, \chi_{t,N}) $ が $ (0,1) $ に零点を持たない）の下で、$ f $ が恒等的にゼロでない限り、列 $ (a(tn^2))_n $ は無限に多くの符号の変化を示す。
• 一般のカスプ形式 $ f \in S_{k+1/2}^*(N,\chi) $（ヘッケ固有形式でない場合を含む）に対して、$ f $ が単項シータ級数に直交する（$ k=1 $ の場合）限り、符号の変化が無限に多く発生するような平方因子なしの $ t $ が無限に存在する。
• $ \delta(z) $ および $ g(z) $ の数値的データは、すべての非ゼロ係数のうち正の係数の割合が $ X \to \infty $ のとき $ 1/2 $ に近づくことを示唆している。これはすべての $ n \leq X $ および基本的判別式に対して成り立つ。
• $ g(z) $ に対しては、$ X = 10^6 $ で $ R^{+}_{tot}(g,X) $ が約 $ 0.5 $ に安定し、$ R^{+}_{fund}(g,X) $ も $ 0.5 $ に近づく。これは等分布を支持する。
• ヘッケ固有値の境界に基づく背理法により、すべての $ a(n) \geq 0 $ が $ (n/p) = \varepsilon $ のとき、$ \lambda_p = -\varepsilon \chi^*(p)(p^k + p^{k-1}) $ という固有値が得られ、これはデリーニの境界 $ |\lambda| < p^k + p^{k-1} $ を違反する。これにより、符号の変化が必ず生じることを証明する。