[論文レビュー] Sign patterns of the Liouville and Möbius functions

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、近年の乗法的関数の短区間平均値に関する結果を用いて、長さ3までのリーマン・リウヴィル関数およびモービアス関数の符号パターンが正の下自然密度をもつことを確立する。リーマン・リウヴィル関数に関しては、長さ3のすべての8つの符号パターンが正の下密度をもつ。モービアス関数に関しては、長さ2のすべての9つの符号パターンが同様に正の下密度をもつが、証明においてランダムグラフの連結性を新しく応用している。

ABSTRACT

Let $λ$ and $μ$ denote the Liouville and Möbius functions respectively. Hildebrand showed that all eight possible sign patterns for $(λ(n), λ(n+1), λ(n+2))$ occur infinitely often. By using the recent result of the first two authors on mean values of multiplicative functions in short intervals, we strengthen Hildebrand's result by proving that each of these eight sign patterns occur with positive lower natural density. We also obtain an analogous result for the nine possible sign patterns for $(μ(n), μ(n+1))$. A new feature in the latter argument is the need to demonstrate that a certain random graph is almost surely connected.

研究の動機と目的

• 長さ3のリーマン・リウヴィル関数のすべての符号パターンが無限回出現することを示すヒルデブランドの結果を、それらが正の下自然密度をもつことへ強化すること。
• この結果をモービアス関数へ拡張し、長さ2のすべての9つの可能な符号パターンが正の下自然密度をもつことを証明すること。
• 極端な符号パターン（例：+++ や ---）がリーマン・リウヴィル関数に出現しない可能性を排除するための障害要因が、最近の乗法的関数の短区間平均値に関する結果によって排除されることを示すこと。
• モービアス関数のゼロ値が引き起こす複雑性に対処するための新しい手法的ツールを導入すること—すなわち、特定のランダムグラフのほとんど確実な連結性を証明すること—を用いること。

提案手法

• マトマキとラドジヴィルの最近の研究に基づき、短区間における乗法的関数の平均値に関する結果を用いて、符号パターンの分布を制御する。
• 中央マーカー（ベー）を用いた符号パターン表記法を用いた組合せ的枠組みを導入し、乗法的関数値の列における注目すべき位置を示す。
• 特に、$ C $ 以下の素数に対して高次の素因数を含む項の誤差項を上界で抑え込むための篩法を適用する。
• 中国剰余定理を用いて、$ \\tilde{\rho}^2 $ を法とする許容可能な剰余類の数を数え上げる。ここで $ \\tilde{\rho} = \\prod_{p \leq C} p $ であり、互いに素であることおよび平方因子を含まない条件を満たすようにする。
• ブルン＝ティッチマールシュの不等式を適用して、等差数列内の素数の個数を上界で抑え込み、篩法における主要項の大きさを推定する上で重要である。
• 特定のランダムグラフのほとんど確実な連結性が示されることを用いて、数え上げの主項が誤差項を上回ることを保証する新しい手法を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ3の連続する整数におけるリーマン・リウヴィル関数の8つの可能な符号パターンすべてが、正の下自然密度をもつのか？
• RQ2 長さ2の連続する整数におけるモービアス関数の9つの可能な符号パターンすべてが、正の下自然密度をもつのか？
• RQ3 最近の乗法的関数の短区間平均値に関する結果を用いて、極端な符号パターン（例：+++ や ---）がリーマン・リウヴィル関数に存在しない可能性を排除できるか？
• RQ4 モービアス関数のゼロ値が符号パターン解析に与える影響はどのように扱えるのか？また、それに対応するための新しい組合せ的ツールは何か？
• RQ5 特定のランダムグラフの連結性が、符号パターン頻度の数え上げにおける主項が誤差項を上回ることを保証する十分条件となるのか？

主な発見

• 長さ3の連続する整数におけるリーマン・リウヴィル関数のすべての8つの符号パターンが、正の下自然密度をもつ。これは、ヒルデブランドの無限回出現の結果を強化するものである。
• 長さ2の連続する整数におけるモービアス関数のすべての9つの符号パターンが、正の下自然密度をもつ。これはこの関数に関して新たな結果である。
• パrameter $ C $ が十分に大きいとき、符号パターンの数え上げにおける主項が誤差項を上回ることを保証する。これにより正の下自然密度が保証される。
• 証明は、ある特定のランダムグラフがほとんど確実に連結であることを示すことに依存しており、これはモービアス関数の場合における許容可能な解の構造を制御するために不可欠である。
• 下自然密度は $ C $ に依存しない正の定数で下から抑えられる。この定数は $ C $ に対して一様であるが、バナッハ極限の使用により明示的な下界は得られていない。
• この手法は、素数 2, 3, 5 で $ \lambda $ と一致し、60 の約数を法とする算術級数における素数定理を満たす完全乗法的関数 $ f: \mathbb{N} \to \{-1,+1\} $ に対しても拡張可能である。