[論文レビュー] Sign Problems in Quantum Field Theory: Classical and Quantum Approaches

Scott Ross Lawrence|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 117被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、量子場の理論における符号問題を克服する2つの手法を提案する：場変数の複素化と、コーシーの積分定理を用いて最適な統合経路を見つけること、および誤り訂正付き量子コンピュータを用いて量子場理論を直接シミュレートすること。いくつかの状況では符号問題が完全に解消可能であることが示され、他の状況では改善が限定的であることが明らかになり、量子色力学の正確な量子アルゴリズムが提示されている。

ABSTRACT

Monte Carlo calculations in the framework of lattice field theory provide non- perturbative access to the equilibrium physics of quantum fields. When applied to certain fermionic systems, or to the calculation of out-of-equilibrium physics, these methods encounter the so-called sign problem, and computational resource require- ments become impractically large. These difficulties prevent the calculation from first principles of the equation of state of quantum chromodynamics, as well as the computation of transport coefficients in quantum field theories, among other things. This thesis details two methods for mitigating or avoiding the sign problem. First, via the complexification of the field variables and the application of Cauchy’s integral theorem, the difficulty of the sign problem can be changed. This requires searching for a suitable contour of integration. Several methods of finding such a contour are discussed, as well as the procedure for integrating on it. Two notable examples are highlighted: in one case, a contour exists which entirely removes the sign problem, and in another, there is provably no contour available to improve the sign problem by more than a (parametrically) small amount. As an alternative, physical simulations can be performed with the aid of a quantum computer. The formal elements underlying a quantum computation — that is, a Hilbert space, unitary operators acting on it, and Hermitian observables to be measured — can be matched to those of a quantum field theory. In this way an error-corrected quantum computer may be made to serve as a well controlled laboratory. Precise algorithms for this task are presented, specifically in the context of quantum chromodynamics.

研究の動機と目的

• フェルミオン系の非摂動的計算や非平衡ダイナミクスの計算を妨げる格子場理論における符号問題に対処すること。
• 場変数の複素化と経路変形が、符号問題を緩和または完全に解消できるかどうかを調査すること。
• 誤り訂正付き量子コンピュータ上で量子色力学をシミュレートするための正確な量子アルゴリズムを開発すること。
• 量子場理論の構造と量子計算の形式的要素との間の対応関係を確立すること。
• 経路に基づく符号問題緩和の限界を特定すること、特に改善が決定的に小さいと証明される状況を含むこと。

提案手法

• 経路積分形式において場変数を複素化し、複素平面上での経路変形を可能にする。
• コーシーの積分定理を適用して統合経路をシフトし、位相揺らぎを低減または完全に除去する。
• 複素化された経路に沿った統合のための数値的手順を開発する。これには、適切な経路を特定する手法が含まれる。
• 符号問題を完全に除去できる経路が存在する場合と、改善が限界に達する場合を特定する。
• ヒルベルト空間、ユニタリ時間発展演算子、および観測可能量といった、量子場理論の形式的構造を、量子計算の枠組みにマッピングする。
• 耐故障性量子コンピュータ上で量子色力学をシミュレートするのに特化した正確な量子アルゴリズムを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のフェルミオン系量子場理論において、複素化場空間における経路変形によって符号問題が完全に解消可能かどうか。
• RQ2 符号問題を除去する経路が存在する数学的・計算的条件は何か。
• RQ3 完全に除去できる経路が存在しない場合、符号問題はどの程度緩和可能か。
• RQ4 量子場理論の形式的構造（ヒルベルト空間、ユニタリ発展演算子、観測可能量）を、シミュレーションの目的で量子コンピュータの演算にどのようにマッピングできるか。
• RQ5 誤り訂正付き量子コンピュータ上で量子色力学をシミュレートするために必要な正確な量子アルゴリズムは何か。

主な発見

• あるクラスのモデルでは、適切な複素化された経路が存在し、符号問題を完全に除去可能であり、正確なシミュレーションが可能である。
• 別のクラスでは、経路変形による改善が、（パラメトリックに）小さな減少に限定され、これは数学的に証明可能である。
• コーシーの積分定理の適用により、符号問題を経路探索問題に変換する厳密な枠組みが得られる。
• ヒルベルト空間、ユニタリ時間発展演算子、およびエルミート観測可能量の一致により、量子コンピュータに量子場理論を形式的にマッピングできる。
• 誤り訂正付き量子ハードウェア上で量子色力学をシミュレートできる正確な量子アルゴリズムが開発された。
• 本研究は、量子場理論における状態方程式および輸送係数の第一原理的計算の基盤を確立した。