[論文レビュー] Signal Acquisition from Measurements via Non-Linear Models

Niv Sarig, Yosef Yomdin|ArXiv.org|Oct 29, 2008

Image and Signal Denoising Methods参考文献 40被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、多項式モーメントから非線形有限パrametricモデル（例えば、区分的代数的関数、デルタ関数、四則領域）を直接代数的手法で再構成する手法を提示する。モーメントをモデルパラメータの非線形関数として記号的に表現し、得られた方程式系を解くことで、一般化されたモーメント消滅問題やコーシー型積分との関連を確立し、代数的および微分方程式的手法を用いて安定な再構成を可能にする。

ABSTRACT

We consider the problem of reconstruction of a non-linear finite-parametric model $M=M_p(x),$ with $p=(p_1,...,p_r)$ a set of parameters, from a set of measurements $μ_j(M)$. In this paper $μ_j(M)$ are always the moments $m_j(M)=\int x^jM_p(x)dx$. This problem is a central one in Signal Processing, Statistics, and in many other applications. We concentrate on a direct (and somewhat "naive") approach to the above problem: we simply substitute the model function $M_p(x)$ into the measurements $μ_j$ and compute explicitly the resulting "symbolic" expressions of $μ_j(M_p)$ in terms of the parameters $p$. Equating these "symbolic" expressions to the actual measurement results, we produce a system of nonlinear equations on the parameters $p$, which we consequently try to solve. The aim of this paper is to review some recent results (mostly of \cite{Vet5,Mil1,Mil2,Put1,Vet4,Vet3,Mil3,Mil4,Vet2}) in this direction, stressing the algebraic structure of the arising systems and mathematical tools required for their solutions. In particular, we discuss the relation of the reconstruction problem above with the recent results of \cite{bfy,bry,chr,pak1,pak2,pak3,pry,ry} on the vanishing problem of generalized polynomial moments and on the Cauchy-type integrals of algebraic functions. The accompanying paper \cite{Kis1} (this volume) provides a solution method for a wide class of reconstruction problems as above, based on the study of linear differential equations with rational coefficient, which are satisfied by the moment generating function of the problem.

研究の動機と目的

• 多項式モーメント測定値から非線形有限パrametricモデルを直接的・記号的に再構成するための手法を開発すること。
• 多項式、有理関数、デルタ関数などのモデルから生じるモーメントに基づくシステムの代数的構造を分析すること。
• 再構成問題を一般化されたモーメント消滅問題および代数関数のコーシー型積分に関連付けること。
• 有理係数をもつ線形微分方程式を用いたモーメント逆問題の理論的基盤を提供すること。
• 1次元モデルの結果を2次元の場合に拡張し、多角形、四則領域、代数的曲線上のデルタ関数を含むこと。

提案手法

• モデル関数 $ M_p(x) $ をモーメント積分 $ \mu_j(M_p) = \int x^j M_p(x) \, dx $ に代入し、パラメータ $ p $ の記号的表現を得る。
• 記号的モーメント表現を測定値と等置することで、非線形方程式系を構成する。
• モーメント生成関数を用いて、特に区分的代数的関数および有理関数モデルの非線形システムを分析・解法する。
• 有理係数をもつ線形微分方程式の理論的手法を応用し、四則領域などのモデルを再構成する。
• 2次元の場合には、複素モーメントを用い、曲線を有理関数でパラメータ化することで、代数的曲線上のデルタ関数のためのモーメントシステムを導出する。
• ヴェルマーの定理およびヘンキンのモーメント生成関数に関する研究の結果を活用し、消滅条件および再構成可能性の分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号的代数を用いて、有限個の多項式モーメントから非線形有限パrametricモデルをどのように再構成できるか。
• RQ2 モーメント測定値から導かれる非線形方程式系の背後にある代数的構造は何か。
• RQ3 区分的代数的関数に対して、有限モーメント変換がいつ単射となるか。
• RQ4 一般化された多項式モーメントの消滅性は、代数的曲線上のデルタ関数の再構成にどのように関連するか。
• RQ5 複雑な幾何形状（四則領域など）のモーメント逆問題を解く際に、モーメント生成関数が果たす役割は何か。

主な発見

• 有限モーメント変換は区分的代数的関数上で単射であり、有限個のモーメントから一意的な再構成が可能である。
• 平面多角形および四則領域の複素モーメントからの再構成は、デルタ関数再構成と同一の非線形方程式系の解法に還元される。
• 有理曲線上のデルタ関数に対しては、モーメントシステムが一般化されたモーメント消滅問題に等価であり、合成定理により必要十分条件が与えられる。
• 閉じた代数的曲線上での二重モーメントの消滅は、$ \mathbb{C}^2 $ における複素2次元鎖を囲むことに等しい、とヴェルマーの定理により示される。
• モーメント生成関数は、特にコーシー型積分および代数関数の文脈において、モーメント逆問題の分析・解法において中心的な役割を果たす。
• 有理係数をもつ線形微分方程式に基づく手法は、広範な再構成問題に対して体系的な解決フレームワークを提供する。詳細は補論文 [24] に記載されている。