[論文レビュー] Signal Reconstruction Framework Based On Projections Onto Epigraph Set Of A Convex Cost Function (PESC)

Mohammad Tofighi, Kıvanç Köse+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、凸コスト関数の上位集合への射影に基づく、信号再構成のための新規フレームワークPESC（凸コスト関数の上位集合への射影）を提案する。この手法は最適化問題の次元を1つ引き上げ、凸コスト関数の上位集合への反復的直交射影を用いることで、グローバル最適解を達成する。この方法により、全変動（total variation）、$\mu at{1}$、エントロピー型コスト関数における正則化パrameterのチューニングの必要性が排除され、ノイズ除去および圧縮センシングにおいて、正確またはほぼ正確な信号再構成を実現する優れた性能を示す。

ABSTRACT

A new signal processing framework based on making orthogonal Projections onto the Epigraph Set of a Convex cost function (PESC) is developed. In this way it is possible to solve convex optimization problems using the well-known Projections onto Convex Set (POCS) approach. In this algorithm, the dimension of the minimization problem is lifted by one and a convex set corresponding to the epigraph of the cost function is defined. If the cost function is a convex function in $R^N$, the corresponding epigraph set is also a convex set in R^{N+1}. The PESC method provides globally optimal solutions for total-variation (TV), filtered variation (FV), L_1, L_2, and entropic cost function based convex optimization problems. In this article, the PESC based denoising and compressive sensing algorithms are developed. Simulation examples are presented.

研究の動機と目的

• 信号再構成における正則化パrameterのチューニングを回避する新しい凸最適化フレームワークの開発。
• 次元を引き上げ、上位集合を用いて凸最小化問題を再定式化し、反復的射影に基づく解法を実現すること。
• 全変動、$\mu at{1}$、フィルタード変動、およびエントロピー型コスト関数に対してグローバル最適解を達成すること。
• 実用的な計算可能性を備えた、新しいフレームワークに基づく効率的なノイズ除去および圧縮センシングアルゴリズムの設計。
• 多様なテスト信号および画像において、最小限の誤差と高いSNRを達成する、優れた信号再構成性能の実証。

提案手法

• 信号空間を $\mathbb{R}^N$ から $\mathbb{R}^{N+1}$ に引き上げるため、補助変数 $y$ を導入する。
• 上位集合 $C_f = \{[\mathbf{w}^T~{}y]^T \in \mathbb{R}^{N+1} \mid y \geq f(\mathbf{w})\}$ を定義する。$f(\mathbf{w})$ が凸関数であれば、$C_f$ も凸集合である。
• レベル集合 $C_s = \{[\mathbf{w}^T~{}y]^T \mid y \leq \alpha\}$ を定義する。本フレームワークでは $\alpha = 0$ とする。
• 任意の初期推定値を $\mathbb{R}^{N+1}$ 内で選び、$C_s$ と $C_f$ の間で交互に直交射影を実行する。
• TV関数のサポート超平面への閉形式射影を用いることで、計算効率を確保する。
• 収束するまで反復し、元の空間における最適解 $\mathbf{w}^*$、すなわちグローバル最小解に到達する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bregman距離の計算を伴わず、上位集合への反復的射影によって凸最適化問題を解くことは可能か？
• RQ2 PESCフレームワークは、全変動、$\ell_1$、およびエントロピー型コスト関数に対してグローバル最適解を達成できるか？
• RQ3 提案手法により、ノイズ除去および圧縮センシングにおける正則化パrameterのチューニングの必要性が排除されるか？
• RQ4 SNRおよび収束速度の観点から、PESCに基づくアルゴリズムは、既存の最先端手法と比較して優れた性能を示すか？
• RQ5 スパarsityが厳密に分かっていない場合でも、本手法は、例えばカスプ信号のような可解行列信号を効果的に再構成できるか？

主な発見

• PESCフレームワークは、凸上位集合を活用することで、全変動、フィルタード変動、$\ell_1$、エントロピー型コスト関数に対してグローバル最適解を達成する。
• TV関数のサポート超平面への射影を用いることで、正則化パrameterに依存しないTVベースのノイズ除去が可能になる。
• N = 1024 のカスプ信号に対して、M = 204 測定値でSNRが45 dBに達し、M = 717 ではSNRが58 dBに達した。
• 2次元圧縮センシングにおいて、Fowlerらのブロックベース手法を上回り、64×64ブロックでは平均1.24 dB、32×32ブロックでは0.42 dBのSNR向上を達成した。
• パプリッジ画像において、本手法は32×32では27.06、64×64では27.93のSNRを達成し、Fowlerの手法をそれぞれ2.4 dBおよび3.47 dB上回った。
• 収束曲線から、M = 307 測定値の場合、100イテレーション以内に誤差がほぼゼロに減少することが示され、可解行列信号において高速収束を示した。