[論文レビュー] Signature moments to characterize laws of stochastic processes

Ilya Chevyrev, Harald Oberhauser|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 26被引用数 42

ひとこと要約

この論文はパス-valued データに対するロバストなシグネチャモーメントを開発し、ロバストシグネチャを介して普遍的かつ特徴的なカーネルを構築し、確率過程の法を比較するための MMD ベースのフレームワークを導出し、二標本検定を含む。

ABSTRACT

The sequence of moments of a vector-valued random variable can characterize its law. We study the analogous problem for path-valued random variables, that is stochastic processes, by using so-called robust signature moments. This allows us to derive a metric of maximum mean discrepancy type for laws of stochastic processes and study the topology it induces on the space of laws of stochastic processes. This metric can be kernelized using the signature kernel which allows to efficiently compute it. As an application, we provide a non-parametric two-sample hypothesis test for laws of stochastic processes.

研究の動機と目的

• シグネチャに一般化されたモーメントを用いて、パス値をとる確率変数の法を特徴づける。
• パス空間の法を特徴づける、ロバストで普遍的かつ単射な特徴写像を作成する。
• ロバストシグネチャカーネルを介して確率過程の法のカーネル平均埋め込みフレームワークを開発する。
• MMD を通じて確率過程の法の計量位相を確立し、それを弱収束と関連付ける。
• 確率過程の法を比較するための実用的なノンパラメトリック二標本検定を提供する。

提案手法

• テンソルモーメントを束縛する正規化を組み合わせたロバストなシグネチャ写像 Phi(x) を得るために、正規化 lambda(x) を導入する。
• Phi(x) = (lambda(x)^m ∫ dx^{⊗ m})_{m≥0} を定式化し、普遍性と特徴性を示す。
• ロバストシグネチャカーネル k(x,y) = ⟨Phi(x), Phi(y)⟩ を定義し、法間の対応する MMD距離 d_k を導出する。
• d_k が自然な仮定の下で法空間に対して弱収束よりも弱いトポロジーを誘導することを証明する。
• シグネチャの内積を計算する効率的な再帰アルゴリズムを記述し、それをロバストシグネチャへ拡張する。
• カーネル平均埋め込みアプローチを用いて、確率過程の法のノンパラメトリックな二標本検定にフレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロバストなシグネチャモーメントは、パス値を持つ確率過程の法を一意に決定できるか。
• RQ2 外れ値に対して頑健なまま、パス空間に対する普遍的で特徴的な特徴写像を構築できるか。
• RQ3 シグネチャ特徴をカーネル化して、確率過程の法を実用的な MMD ベースの比較を得るにはどうすればよいか。
• RQ4 ロバストシグネチャ MMD によって法の空間に誘導されるトポロジーは何か、そしてそれは弱収束とどう関連するか。
• RQ5 このフレームワークは実践的に確率過程の法のノンパラメトリック二標本検定を支援できるか。

主な発見

• ロバストなシグネチャ特徴写像 Phi(x) は、パスの法を普遍的かつ特徴的に表現する。
• ロバストシグネチャカーネル k(x,y) は、確率過程の法のカーネル平均埋め込みを提供する。
• 誘導された MMD 距離 d_k は、弱収束よりも弱いが関連するトポロジーを法の間に与える距離である。
• ロバストシグネチャの内積を計算する効率的な再帰アルゴリズムが存在し、高次元や一般空間での実用的な計算を可能にする。
• このフレームワークは、カーネル平均埋め込みアプローチを用いて確率過程の法のノンパラメトリック二標本検定を可能にする。
• 正規化は普遍性と特徴性を保証するために不可欠であり、これがないとロバスト特徴は普遍性を欠くか、法を特徴づけることができなくなる可能性がある。