[論文レビュー] Signature pairs of positive polynomials

Jennifer Halfpap, Jiř́í Lebl|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ \|z\|^{2d}$ を乗じることで正定値ノルムになる双同次多項式の負符号対正符号対の比に対する有効な上限を確立し、$d=1$ では鋭い上限、$d>1$ では最適順序の上限を示している。$\Psi_d$ と表されるこのような多項式のクラスは $d$ に関して厳密に増加しており、$C_n d^{n-1}$ の割合で増加する明示的な下限が得られ、固定された $n$ に対して $d$ の漸近的挙動が正しく特定されている。結果として、クイレンの定理を定量的に拡張し、正性がヘルミート的平方和構造を示すために必要な最小の $d$ を特定している。

ABSTRACT

A well-known theorem of Quillen says that if $r(z,\bar{z})$ is a bihomogeneous polynomial on ${\mathbb{C}}^n$ positive on the sphere, then there exists $d$ such that $r(z,\bar{z}){\lVert z Vert}^{2d}$ is a squared norm. We obtain effective bounds relating this $d$ to the signature of $r$. We obtain the sharp bound for $d=1$, and for $d > 1$ we obtain a bound that is of the correct order as a function of $d$ for fixed $n$. The current work adds to an extensive literature on positivity classes for real polynomials. The classes $Ψ_d$ of polynomials for which $r(z,\bar{z}){\lVert z Vert}^{2d}$ is a squared norm interpolate between polynomials positive on the sphere and those that are Hermitian sums of squares.

研究の動機と目的

• 双同次多項式が球面上で正である場合に、$\|z\|^{2d}$ を乗じることでヘルミート的平方和構造に変わることになる最小の $d$ を定量的に特定すること。クイレンの定理を有効な境界で拡張する。
• 多項式 $\Psi_d$ における負符号対正符号対の比 $N_-/N_+$ の鋭い上界を特定すること。特に $d=1$ および $d>1$ の場合。
• $\Psi_d$ が厳密に増加すること、すなわち $\Psi_0 \subsetneq \Psi_1 \subsetneq \Psi_2 \subsetneq \cdots$ であることを示すこと。
• 固定された $n$ に対して、比 $N_-/N_+$ が $d$ の関数としてどのように漸近的に成長するかの正しい順序を確立し、$\Theta(d^{n-1})$ であることを証明すること。

提案手法

• 正性クラス $\Psi_d$ を、$r(z,\bar{z})\|z\|^{2d}$ がヘルミート的平方和であるような双同次多項式 $r$ として定義する。
• 実多項式の符号対 $(N_+, N_-)$ を用いて、正のヘルミート的平方と負のヘルミート的平方への分解を特徴付ける。
• $\ell$ を一次形式とするとき、$p \cdot \ell^d$ の係数空間における帰納的構成を用いて、積の係数の符号パターンを制御する。
• $x_2$ の累乗でインデックス付けられた層にわたり、負と正の係数パターンを制御した多項式 $p$ を構成し、$p \cdot \ell^d$ が $d$ 乗の係数に対して非負となるようにし、$N_-/N_+$ を最大化する。
• $d>1$ の場合、再帰的戦略を用いる：係数図の層を交互に正と負に配置し、正の係数を $\nu$ 間隔ごとの層にのみ配置することで、$N_-/N_+$ の比を改善する。
• $n$ に関する帰納法により、下限 $C_n d^{n-1}$ を証明する。再帰関係 $C_n = C_{n-1}/2^{n-1}$ と初期値 $C_2 = 1/2$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式 $\Psi_1$ における比 $N_-/N_+$ の鋭い上界は何か？
• RQ2 $d > 1$ の場合、固定された $n$ に対して、$d$ の関数としての最大の $N_-/N_+$ の正しい漸近的順序は何か？
• RQ3 $\Psi_d$ のクラスは厳密に分離可能であるか、すなわちすべての $d \geq 0$ に対して $\Psi_d \subsetneq \Psi_{d+1}$ が成り立つか？
• RQ4 $\Psi_{d+1} \setminus \Psi_d$ に属する多項式を実際に構成することで、厳密包含を示すにはどうすればよいか？
• RQ5 球面上で正である多項式が $\Psi_d$ に属する最小の $d$ は何か？また、これはその符号にどのように依存するか？

主な発見

• $d=1$ の場合、$N_-/N_+ < n-1$ という境界は鋭く、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $N_-/N_+ \geq n-1 - \varepsilon$ を満たす多項式が存在する。
• $d > 1$ の場合、$N_-/N_+ \leq \binom{n-1+d}{d} - 1$ という境界が成り立ち、固定された $n$ に対して正しい順序 $\Theta(d^{n-1})$ である。
• $C_n > 0$ なる定数が存在し、各 $d$ に対して $\Psi_d$ に属する多項式で $N_-/N_+ \geq C_n d^{n-1}$ を満たすものが存在する。これにより、境界の順序が最適であることが証明される。
• $\Psi_d$ のクラスは厳密に増加している：$\Psi_0 \subsetneq \Psi_1 \subsetneq \cdots$ であり、すべての $d$ に対して $\Psi_{d+1} \setminus \Psi_d$ に属する多項式を構成することで示された。
• $C_n$ の漸近的成長率は $C_n = 1/2^{n(n-1)/2}$ であり、再帰関係 $C_n = C_{n-1}/2^{n-1}$ と $C_2 = 1/2$ から導かれる。
• 層状の係数パターンと交互に配置された正の層を用いた構成法により、比 $N_-/N_+$ が最適の $d^{n-1}$ の成長率を達成している。