[論文レビュー] Signatures of a quantum phase transition on a single-mode bosonic model

Emmanouil Grigoriou, Carlos Navarrete–Benlloch|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2023

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限次元ヒルベルト空間として定義される熱力学的極限—無限大のヒルベルト空間次元—が、空間的拡張を持たない単一モードボソン系においても基底状態エネルギーの非解析的振る舞いを引き起こし、第二種量子相転移を示すことを示している。このモデルは、量子ラビ模型やリプキン＝メシュコフ＝ギリック模型と同一の臨界指数とスケーリング則を示し、普遍性クラスを確認している。一方、大L極限における量子揺らぎの消失により、熱力学的極限と古典的極限が一致することが明らかになった。

ABSTRACT

Equilibrium phase transitions usually emerge from the microscopic behavior of many-body systems and are associated to interesting phenomena such as the generation of long-range order and spontaneous symmetry breaking. They can be defined through the non-analytic behavior of thermodynamic potentials in the thermodynamic limit. This limit is obtained when the number of available configurations of the system approaches infinity, which is conventionally associated to spatially-extended systems formed by an infinite number of degrees of freedom (infinite number of particles or modes). Taking previous ideas to the extreme, we argue that such a limit can be defined even in non-extended systems, providing a specific example in the simplest form of a single-mode bosonic Hamiltonian. In contrast to previous non-extended models, the simplicity of our model allows us to find approximate analytical expressions that can be confronted with precise numerical simulations in all the parameter space, particularly as close to the thermodynamic limit as we want. We are thus able to show that the system undergoes a change displaying all the characteristics of a second-order phase transition as a function of a control parameter. We derive critical exponents and scaling laws revealing the universality class of the model, which coincide with that of more elaborate non-extended models such as the quantum Rabi or Lipkin-Meshkov-Glick models. Analyzing our model, we are also able to offer insights into the features of this type of phase transitions, by showing that the thermodynamic and classical limits coincide. In other words, quantum fluctuations must be tamed in order for the system to undergo a true phase transition.

研究の動機と目的

• 空間的拡張を持たない系、たとえば単一モードボソン系においても、無限次元ヒルベルト空間として定義される熱力学的極限を再定義することで、量子相転移が出現するかを調査すること。
• このような系が、基底状態エネルギーの非解析的振る舞いや相関長の発散といった第二種相転移の特徴的兆候を示すかを特定すること。
• 臨界指数とスケーリング則を導出し、この最小限のモデルにおける相転移の普遍性クラスを同定すること。
• 空間的拡張が存在しない状況において、量子系における熱力学的極限と古典的極限の関係を明確にすること。

提案手法

• 研究では、制御パrameterを有する単一モードボソンハミルトニアンを用い、熱力学的極限を無限大の粒子数や系サイズではなく、L → ∞ においてヒルベルト空間次元が無限大に成長することとして定義する。
• モデルは、密度行列のフォン・ノイマン方程式を、独立した複素変数 α と α⁺ を持つ拡張された位相空間におけるフォッカー＝プランク方程式に写像する正のP表現を用いて解析する。
• フォッカー＝プランク形式から確率的ランジュバン方程式を導出し、近似を一切用いずに量子力学的ダイナミクスの正確なシミュレーションが可能になる。
• L → ∞ の極限を解析するために、正規化変数 β = α/√L と β⁺ = α⁺/√L を導入し、ノイズ項が消えて系が決定論的になることを示す。
• パラメータ空間全体、特に熱力学的極限に近い領域において、解析的近似を導出し、高精度の数値シミュレーションと比較する。
• 臨界点近くでの基底状態エネルギーと秩序パラメータの振る舞いを分析することで、臨界指数とスケーリング則を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的拡張や無限大の粒子数が存在しない非拡張系、例えば単一モードボソン模型においても、量子相転移が生じ得るか？
• RQ2 無限大のヒルベルト空間次元（L → ∞）として定義される熱力学的極限が、基底状態エネルギーにおける非解析的振る舞いを引き起こし、相転移を示唆するか？
• RQ3 この相転移の臨界指数とスケーリング則は何か？ また、量子ラビ模型やリプキン＝メシュコフ＝ギリック模型といった既知のモデルと比較してどうなるか？
• RQ4 このモデルにおいて、熱力学的極限と古典的極限は等価であるか？ これは量子揺らぎの役割に何を示唆するか？

主な発見

• 単一モードボソン模型は、制御パラメータを変化させることで、臨界点における基底状態エネルギーの非解析的振る舞いによって示される第二種量子相転移を示す。
• 得られた臨界指数とスケーリング則は、量子ラビ模型およびリプキン＝メシュコフ＝ギリック模型と完全に一致し、同じ普遍性クラスに属することが確認された。
• L → ∞ の極限において、ランジュバン方程式の確率的ノイズ項が消え、系は決定論的ダイナミクスに移行し、コherent状態が保存される。
• このモデルにおいて、熱力学的極限と古典的極限が等価であることが示された。これは、大L領域において量子揺らぎが抑制されることに起因する。
• 本モデルでは、パラメータ空間全体、特に熱力学的極限に近い領域においても、高精度な解析的近似が可能であり、数値的シミュレーションと一致する。
• 本研究は、長距離秩序や臨界スケーリングといった相転移の本質的特徴が、ヒルベルト空間次元を無限大にとることで、最小限の非拡張系に対しても出現しうることを確認した。