[論文レビュー] Signatures of quantum-like chaos in spacing intervals of non-trivial Riemann zeta zeros and in turbulent fluid flows

A. M. Selvam|ArXiv.org|Feb 11, 2001

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 34被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、非自明なリーマン・ゼータ関数零点の間隔が、フラクタル的揺動と普遍的な逆べき乗則スペクトルを示すことで、量子力学的混沌（quantum-like chaos）を示していると提唱している。これは自己組織的臨界性の特徴である。流体の乱流に最初に開発されたセル力学的系モデルを用いて、著者らはこれらの間隔が統計的正規分布の分散構造に従うことを示し、あらゆるスケールの力学的系における量子力学的エネルギー準位の揺動と結びつけた。

ABSTRACT

The spacing intervals of adjacent Riemann zeta zeros(non-trivial) exhibit fractal(irregular) fluctuations generic to dynamical systems in nature such as fluid flows, heart beat patterns, stock market price index, etc., and are associated with unpredictability or chaos. The power spectra of such fractal space-time fluctuations exhibit universal inverse power law form and signify long-range correlations, identified as self-organized criticality . A cell dynamical system model developed by the author for turbulent fluid flows provides a unique quantification for the observed power spectra in terms of the statistical normal distribution, such that the variance represents the statistical probability densities. Such a result that the additive amplitudes of eddies when squared, represent the statistical probabilities is an observed feature of the subatomic dynamics of quantum systems such as an electron or photon. Self-organized criticality is therefore a signature of quantum-like chaos in dynamical systems. The model concepts are applicable to all real world(observed) and computed(mathematical model) dynamical systems. Continuous periodogram analyses of the fractal fluctuations of Riemann zeta zero spacing intervals show that the power spectra follow the unique and universal inverse power law form of the statistical normal distribution. The Riemann zeta zeros therefore exhibit quantum-like chaos, the spacing intervals of the zeros representing the energy(variance) level spacings of quantum-like chaos inherent to dynamical systems in nature. The cell dynamical system model is a general systems theory applicable to dynamical systems of all size scales.

研究の動機と目的

• 非自明なリーマン・ゼータ関数零点の間隔が、量子力学的混沌の兆候を示すかどうかを調査すること。
• これらの間隔におけるフラクタル的揺動が、長距離相関と自己組織的臨界性を示すかどうかを特定すること。
• 乱流の流れに最初に開発されたセル力学的系モデルを用いて、ゼータ関数零点間隔のスペクトルを統計的正規分布の分散構造で定量化すること。
• 数学的構造（リーマン・ゼータ関数零点）と、量子力学的挙動を示す物理的力学的系との間の普遍的関係を確立すること。
• モデルが、流体の流れから数論に至るまで、現実世界および数学的力学的系のすべてに普遍的に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 非自明なリーマン・ゼータ関数零点の間隔におけるフラクタル的揺動を分析するために、連続的ピリオドグラム解析が用いられた。
• これらの揺動のスペクトルを、統計的正規分布から導かれた普遍的な逆べき乗則形式と比較した。
• セル力学的系モデルを用いて、流体の流れにおける加法的渦の振幅を二乗したときの統計的確率密度に一致させる手法が適用され、量子系と類似した挙動を再現した。
• モデルの枠組みを拡張し、ゼータ関数零点間隔を量子力学的混沌におけるエネルギー準位の分散として解釈した。
• 正規分布の分散を統計的確率密度として解釈することで、普遍的なスペクトル則を通じて流体力学と量子力学を結びつけた。
• 観測および計算された力学的系のすべてにおいて、モデルが妥当であることが確認され、一般適用性が裏付けられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なリーマン・ゼータ関数零点の間隔は、混沌の兆候を示すフラクタル的揺動を示すか？
• RQ2 これらの揺動は、普遍的な逆べき乗則スペクトルを示し、長距離相関と自己組織的臨界性を示すか？
• RQ3 乱流の流れに用いられたセル力学的系モデルを、リーマン・ゼータ関数零点間隔のスペクトルを定量化するために適用できるか？
• RQ4 統計的正規分布の分散と、量子力学的混沌におけるエネルギー準位の間隔との間に、定量的関係が存在するか？
• RQ5 このモデルの枠組みは、流体力学から数論に至るまで、すべての現実的および数学的力学的系に一般化可能か？

主な発見

• リーマン・ゼータ関数零点間隔のスペクトルは、統計的正規分布の普遍的な逆べき乗則形式に従う。
• ゼータ関数零点間隔におけるフラクタル的揺動は、長距離相関を示し、自己組織的臨界性を示している。
• 非自明なリーマン・ゼータ関数零点の間隔は、力学的系に内在する量子力学的混沌におけるエネルギー準位の分散を表している。
• セル力学的系モデルにおける渦の加法的振幅を二乗すると、統計的確率が得られ、これは電子や光子のような量子系と類似している。
• セル力学的系モデルは、流体の流れから数学的構造に至るまで、あらゆるスケールの混沌とした揺動を定量化する統一的枠組みを提供する。
• 結果として、自己組織的臨界性は、リーマン・ゼータ関数で記述されるような多様な力学的系における量子力学的混沌の特徴であると確立された。