[論文レビュー] Signed Simplicial Decomposition and Overlay of n-D Polytope Complexes

Norbert W. Paul|arXiv (Cornell University)|May 25, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、符号付き単体分割を用いた組み合わせ論的で幾何的非依存な方法を提示する。この方法により、明示的な三角形分割を伴わずに、高次元のポリトープ複合体の複雑な交差を効率的に計算できる。本手法は非凸ポリトープを向き付けられた単体に分解し、簡略化されたアクティブセット法を用いて交差を計算し、符号付き巻き数を用いて結果を再構成することで、次元に依存しないオーバーレイを実現し、幾何的複雑性を低減する。

ABSTRACT

Polytope complexes are the generalisation of polygon meshes in geo-information systems (GIS) to arbitrary dimension, and a natural concept for accessing spatio-temporal information. Complexes of each dimension have a straight-forward dimension-independent database representation called "Relational Complex". Accordingly, complex overlay is the corresponding generalisation of map overlay in GIS to arbitrary dimension. Such overlay can be computed by partitioning the cells into simplices, intersecting these and finally combine their intersections into the resulting overlay complex. Simplex partitioning, however, can expensive in dimension higher than 2. In the case of polytope complex overlay /signed/ simplicial decomposition is an alternative. This paper presents a purely combinatoric polytope complex decomposition which ignores geometry. In particular, this method is also a decomposition method for /non-convex/ polytopes. Geometric n-D-simplex intersection is then done by a simplified active-set-method---a well-known numerical optimisation method. "Summing" up the simplex intersections then yields the desired overlay complex.

研究の動機と目的

• n次元マップオーバーレイ操作における幾何的三角形分割の高コストを解消すること。
• 空間データベースにおける非凸ポリトープ複合体の効率的かつ次元非依存のオーバーレイを可能にすること。
• 幾何的複雑性を回避しつつトポロジカルに正しく保つ組み合わせ論的分解手法の開発。
• 関係データモデルとトポロジカルインシデント関係を用いて、2次元マップオーバーレイを高次元へ一般化すること。
• GISおよび3次元／4次元モデリングにおけるスケーラブルな枠組みを提供することにより、スパatio時空間的および多次元空間分析を実現すること。

提案手法

• 幾何的埋め込みに依存しない、純粋に組み合わせ論的なn次元ポリトープの符号付き単体分割を用いる。
• 個々の単体の巻き数の積を用いて、符号付き巻き数を適用し、細胞の交差を特定する。
• n次元空間におけるn単体の幾何的交差を計算するための簡略化されたアクティブセット法を採用する。
• 分解プロセスで用いられたモルフィズムの逆写像を用いて、最終的なオーバーレイ複合体を再構成する。
• ポリトープ複合体を関係データベーススキーマとして表現するために、インシデントグラフデータモデルを活用する。
• 境界作用素を適用して、単体交差の符号付き寄与を計算し、トポロジカルな整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸ポリトープ複合体は、幾何的計算を伴わず組み合わせ論的に分解可能か？
• RQ2 完全な幾何的三角形分割を伴わず、n次元の複雑なオーバーレイを効率的に計算できるか？
• RQ3 符号付き単体分割は、次元に依存しない空間演算を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ4 n次元複合体における非空の細胞交差を、巻き数の積が信頼的に特定できるか？
• RQ5 事前に交差を特定することで、重複する単体-単体交差の計算を回避できるか？

主な発見

• 本手法により、インシデントグラフに基づく関係データベーススキーマを用いて、n次元ポリトープ複合体の次元非依存オーバーレイが実現できる。
• 符号付き単体分割により、単体に向き付け係数を割り当てることで、非凸ポリトープの正しく処理が可能になる。
• n単体の幾何的交差は、簡略化されたアクティブセット法により計算され、完全な数値最適化への依存が軽減される。
• 構成単体の巻き数の積により、2つの細胞の交差内にある点を正しく特定でき、堅牢な交差検出が可能になる。
• 分解モルフィズムの逆写像を用いた再構成により、トポロジカル構造が保持される。
• 幾何的三角形分割ではなく組み合わせ論的分解を用いることで、三角形分割の超指数的増加（例：n立方体ではn!個の単体）を回避できる。