[論文レビュー] Signless Laplacian spectral radius and matching in graphs

Chang Liu, Yingui Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Graph theory and applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、偶数次数の連結グラフにおける完全マッチングのための鋭いスペクトル条件を、符号なしラプラシアン固有値半径を用いて確立する。n ≥ 10 または n = 4 の場合、3次方程式の最大根として定義される特定の閾値を超えると、グラフは完全マッチングを有する。n = 6 および n = 8 の場合、明示的な値 4 + 2√3 および 6 + 2√6 が使用される。この条件は、K_{n-3}∨K_1∨K̄_2 のような極値グラフによって、上限が達成可能であることが示され、その結果、境界が鋭いことが保証される。

ABSTRACT

The signless Laplacian matrix of a graph $G$ is given by $Q(G)=D(G)+A(G)$, where $D(G)$ is a diagonal matrix of vertex degrees and $A(G)$ is the adjacency matrix. The largest eigenvalue of $Q(G)$ is called the signless Laplacian spectral radius, denoted by $q_1=q_1(G)$. In this paper, some properties between the signless Laplacian spectral radius and perfect matching in graphs are establish. Let $r(n)$ be the largest root of equation $x^3-(3n-7)x^2+n(2n-7)x-2(n^2-7n+12)=0$. We show that $G$ has a perfect matching for $n=4$ or $n\geq10$, if $q_1(G)>r(n)$, and for $n=6$ or $n=8$, if $q_1(G)>4+2\sqrt{3}$ or $q_1(G)>6+2\sqrt{6}$ respectively, where $n$ is a positive even integer number. Moreover, there exists graphs $K_{n-3}\vee K_1 \vee \overline{K_2}$ such that $q_1(K_{n-3}\vee K_1 \vee \overline{K_2})=r(n)$ if $n\geq4$, a graph $K_2\vee\overline{K_4}$ such that $q_1(K_2\vee\overline{K_4})=4+2\sqrt{3}$ and a graph $K_3\vee\overline{K_5}$ such that $q_1(K_3\vee\overline{K_5})=6+2\sqrt{6}$. These graphs all have no prefect matching.

研究の動機と目的

• 偶数次数の連結グラフにおける完全マッチングの存在を保証する符号なしラプラシアン固有値半径に基づく十分条件を同定すること。
• 隣接行列やラプラシアン行列ではなく、符号なしラプラシアン行列に注目することで、マッチングに関する既存のスペクトル条件の研究を拡張すること。
• 完全マッチングを持たないが、スペクトル半径の閾値に達する極値グラフを同定し、境界の鋭さを証明すること。
• 辺数とスペクトル半径に関する先行研究の一般化として、統一的なスペクトル閾値を導入すること。

提案手法

• 符号なしラプラシアン行列 Q(G) = D(G) + A(G) を定義する。ここで D(G) は次数行列、A(G) は隣接行列である。
• n ≥ 10 または n = 4 の場合、3次方程式 x^3 - (3n-7)x^2 + n(2n-7)x - 2(n^2 - 7n + 12) = 0 の最大根 r(n) をスペクトル閾値として導入する。
• n = 6 および n = 8 の場合、それぞれ明示的な値 4 + 2√3 および 6 + 2√6 を閾値として使用する。
• K_{n-3}∨K_1∨K̄_2、K_2∨K̄_4、K_3∨K̄_5 のような極値グラフの符号なしラプラシアン行列の等分割を適用し、スペクトル半径を計算する。
• スペクトル半径の比較と境界の鋭さの確立に、交互性の性質および非負行列理論を用いる。
• 極値グラフのスペクトル半径が閾値に正確に一致することを検証し、境界を満たすグラフが完全マッチングを持たない可能性があることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次数の連結グラフにおいて、符号なしラプラシアン固有値半径にどのようなスペクトル条件が完全マッチングの存在を保証するか？
• RQ2 特に小さい偶数 n に対して、閾値スペクトル半径は頂点数にどのように依存するか？
• RQ3 完全マッチングを持たないがスペクトル閾値に達する極値グラフが存在するか。そのようなグラフが境界の鋭さを証明するか？
• RQ4 n ≥ 4 の場合、K_{n-3}∨K_1∨K̄_2 のスペクトル半径は、r(n) とどのように関係するか？
• RQ5 なぜ n = 6 および n = 8 の閾値が一般式 r(n) とは異なるのか。それらはどのように導出されるか？

主な発見

• 偶数 n ≥ 4 に対して、r(n) が3次方程式 x^3 - (3n-7)x^2 + n(2n-7)x - 2(n^2 - 7n + 12) = 0 の最大根であるとき、n ≥ 10 または n = 4 であれば、q_1(G) > r(n) ならば G は完全マッチングを有する。
• n = 6 の場合、閾値は 4 + 2√3 ≈ 7.464 であり、q_1(G) がこの値を超えると G は完全マッチングを有する。
• n = 8 の場合、閾値は 6 + 2√6 ≈ 10.899 であり、この値を超えると完全マッチングが保証される。
• 境界は鋭い：K_{n-3}∨K_1∨K̄_2 のようなグラフは q_1(G) = r(n) でありながら完全マッチングを持たない。
• K_2∨K̄_4 のスペクトル半径は正確に 4 + 2√3 であり、K_3∨K̄_5 のスペクトル半径は正確に 6 + 2√6 である。これにより、特殊ケースの閾値の鋭さが確認される。
• K_{n-3}∨K_1∨K̄_2、K_2∨K̄_4、K_3∨K̄_5 の極値グラフはスペクトル閾値に達し、かつ完全マッチングを持たないため、境界をさらに改善できないことが証明される。