[論文レビュー] Simple Approximations of Semialgebraic Sets and their Applications to Control

Fabrizio Dabbene, Didier Henrion+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 42被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、制御系における複雑な半代数的集合の単純で計算的に取り扱いやすい近似として、多項式スーパーレベル集合（PSS）を提案する。正の多項式を半代数的集合上での $L^1$-ノルムを最小化する問題として定式化し、正性制約のもとで解くことで、元の集合へ体積、ほとんど everywhere、ほぼ一様に収束する外部近似が得られ、効率的なサンプリングと集合再構成が可能になる。

ABSTRACT

Many uncertainty sets encountered in control systems analysis and design can be expressed in terms of semialgebraic sets, that is as the intersection of sets described by means of polynomial inequalities. Important examples are for instance the solution set of linear matrix inequalities or the Schur/Hurwitz stability domains. These sets often have very complicated shapes (non-convex, and even non-connected), which renders very difficult their manipulation. It is therefore of considerable importance to find simple-enough approximations of these sets, able to capture their main characteristics while maintaining a low level of complexity. For these reasons, in the past years several convex approximations, based for instance on hyperrect-angles, polytopes, or ellipsoids have been proposed. In this work, we move a step further, and propose possibly non-convex approximations , based on a small volume polynomial superlevel set of a single positive polynomial of given degree. We show how these sets can be easily approximated by minimizing the L1 norm of the polynomial over the semialgebraic set, subject to positivity constraints. Intuitively, this corresponds to the trace minimization heuristic commonly encounter in minimum volume ellipsoid problems. From a computational viewpoint, we design a hierarchy of linear matrix inequality problems to generate these approximations, and we provide theoretically rigorous convergence results, in the sense that the hierarchy of outer approximations converges in volume (or, equivalently, almost everywhere and almost uniformly) to the original set. Two main applications of the proposed approach are considered. The first one aims at reconstruction/approximation of sets from a finite number of samples. In the second one, we show how the concept of polynomial superlevel set can be used to generate samples uniformly distributed on a given semialgebraic set. The efficiency of the proposed approach is demonstrated by different numerical examples.

研究の動機と目的

• 制御系に共通する形状が複雑で非凸な半代数的集合の近似という課題に対処する。これらの形状は解析や設計を困難にする。
• このような集合の外部近似を、単純かつ正確に生成できる計算的に取り扱いやすい手法を開発する。
• 多項式密度近似を用いて、有限個のサンプルからの集合再構成と半代数的集合上での均一サンプリングを可能にする。
• 非凸的で高次多項式のスーパーレベル集合を許容するように、古典的な楕円的近似を一般化する。
• 体積、$L^1$-ノルム、およびほとんど everywhere 収束の観点から、近似階層の理論的収束保証を提供する。

提案手法

• 近似問題を、半代数的集合 $\mathcal{K}$ 上で正の多項式 $p(x)$ の $L^1$-ノルムを最小化する問題として定式化し、正性制約のもとで解く。
• 多項式スーパーレベル集合（PSS）を $\mathcal{U}(p) = \{x \in \mathcal{B} : p(x) \geq 1\}$ として構築し、これは $\mathcal{K}$ の外部近似として機能する。
• 次数を増加させる段階的な線形行列不等式（LMI）問題の階層を用いて、近似多項式 $p$ を計算する。
• 最小体積楕円体法に類似したトレース最小化ヒューリスティクスを、多項式スーパーレベル集合に適応して用いる。
• 多項式 $p$ から周辺および条件付き確率密度を導出し、アルゴリズム1による拒否サンプリングとアルゴリズム2による逆CDFサンプリングを可能にする。
• 周辺および累積密度のすべての積分が解析的に扱えるようにし、数値積分を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式スーパーレベル集合は、非凸的かつ非連結な半代数的集合を低コストで捉えることができる、楕円的近似の一般化を提供できるか？
• RQ2 正の多項式の $L^1$-ノルム最小化が、元の半代数的集合へ体積収束およびほとんど everywhere 収束する近似をもたらす仕組みは何か？
• RQ3 多項式スーパーレベル集合は、有限個のサンプルからの集合の正確な再構成をどの程度可能にするか？
• RQ4 提案された多項式密度近似を用いて、数値積分を用いずに複雑な半代数的集合上に均一なサンプルを生成できるか？
• RQ5 多項式次数を増加させるに従い、PSS近似の階層の理論的収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• 多項式スーパーレベル集合の階層は、元の半代数的集合 $\mathcal{K}$ へ体積収束し、$L^1$-ノルム、ほとんど everywhere、およびほぼ一様収束する。
• 次数 $d=20$ の場合、最適なPSS $p_{d,d}^*$ は非凸集合 $\mathcal{K}$ に対してタイトな外部近似を提供する。数値例で示されている。
• 拒否サンプリング（アルゴリズム1）および逆CDFサンプリング（アルゴリズム2）により、半代数的集合上での均一サンプリングが可能であり、両者とも数値積分を回避する。
• 多項式 $p$ から導かれる周辺および条件付き密度は解析的に計算可能であり、数値台形積分を用いずに正確なサンプリングが可能である。
• 本手法は古典的な楕円的近似を一般化する：2次PSSはよく知られた最小体積楕円体の結果を回復する。
• 本手法は外部近似（体積最小化）と内部近似（最大 $L^1$-体積を有するPSSの内接）の両方をサポートし、柔軟な集合特徴付けを可能にする。