[論文レビュー] Simple birational extensions of the polynomial ring $\C^{[3]}$

Sh. Kaliman, Vénéreau+1 more|ArXiv.org|Apr 20, 2001

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は次元4におけるAbhyankar-Sathaye埋め込み問題を調査し、形式 p = f(x,y)u + g(x,y,z) で定義される ℂ³ から ℂ⁴ への埋め込みに注目する。連結性および他の幾何的条件のもとで、このような p が ℂ[x,y,z,u] の変数（variable）であることを証明する。これはSathayeの結果を ℂ³ から ℂ⁴ へ一般化し、これらの超曲面が ℂ³ に同型であるか、あるいは特異な ℂ³（ℝ⁶ に微分同相だが ℂ³ に同型でないもの）であるかどうかの基準を提供する。

ABSTRACT

The Abhyankar-Sathaye Problem asks whether any biregular embedding of affine spaces $A^m_k o A^n_k$ can be rectified, that is, is equivalent to a linear embedding up to an automorphism of the target space. Here we study this problem for the embeddings $C^3 o C^4$ whose image $X$ is given in $C^4$ by an equation $p=f(x,y)u+g(x,y,z)=0$, where $f\in C[x,y],$ $f eq 0$ and $g\in C[x,y,z]$. Under certain additional assumptions we show that, indeed, the polynomial $p$ is a variable of the polynomial ring $C[x,y,z,u]$ (i.e., a coordinate of a polynomial automorphism of $C^4$). This is an analog of a theorem due to Sathaye which concerns the case of embeddings $C^2 o C^3$. Besides, we generalize a theorem of Miyanishi giving, for a polynomial $p$ as above, a criterion for as when $X$ is isomorphic to $C^3$.

研究の動機と目的

• p = f(x,y)u + g(x,y,z) で定義される超曲面 X = p⁻¹(0) ⊂ ℂ⁴ が ℂ³ に同型である条件を同定すること。
• このような p が多項式環 ℂ[x,y,z,u] 内の座標（変数）であるかどうか、Abhyankar-Sathaye埋め込み問題の次元4における取り扱いを検討すること。
• アフィン変形とシリンダーディーラスを用いて、Sathayeの ℂ³ 内の連結曲面に関する結果を ℂ⁴ 内の3次元多様体へ一般化すること。
• 変形の中心 C の射影 π: C → Γ を用いた、連結性および ℂ³ への同型のための基準を提示すること。
• 写像 ρ = (x,p): ℂ⁴ → ℂ² がすべてのファイバーが ℂ² に同型である自明なファイブレーションをなす、幾何的・代数的条件を検討すること。

提案手法

• 一意的因数分解環（UFD）のアフィン変形、特にシリンダーディーラスに沿った単純な変形を用いる。
• 連結多様体の理論を適用し、Makar-Limanov 時間およびDerksen不変量の行動を分析して、自己同型の非自明性を検出する。
• 多項式環における残余 x-変数および x-変数の概念を用い、p = f(x,y)u + g(x,y,z) の構造を分析する。
• 問題を、C = D(f) ∩ D(g) および Γ = f⁻¹(0) ⊂ ℂ² である射影 π: C → Γ の分析に還元し、零点上の誘導写像を用いる。
• y における次数に関する帰納法を用いて、条件 (41) を満たす f は f = Φ(x, a(x)y + zQ(x,z)) の形に限られることを示し、これにより p が x-変数であることが従う。
• Quillen-Suslin 定理およびDolgachev-Weissfeiler 予想を用いて、ファイブレーションの局所自明性および可能な正規化可能性について議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超曲面 X = p⁻¹(0) ⊂ ℂ⁴ が、ホモロジー的意味で可縮である（連結である）ための条件は何か？ ここで p = f(x,y)u + g(x,y,z) である。
• RQ2 このような超曲面 X が ℂ³ に同型であるのはいつか？ また、X が特異な ℂ³（ℝ⁶ に微分同相だが ℂ³ に同型ではない）であるのはいつか？
• RQ3 多項式 p = f(x,y)u + g(x,y,z) は ℂ[x,y,z,u] 内の変数（variable）であるか？ つまり、ℂ⁴ 上の多項式自己同型に拡張可能か？
• RQ4 X ≅ ℂ³ のとき、写像 ρ = (x,p): ℂ⁴ → ℂ² はすべてのファイバーが ℂ² に同型である自明なファイブレーションをなすか？
• RQ5 p が残余 x-変数であるという条件から、特に f と g が関数的条件 (40) を満たすとき、p が x-変数であることが示せるか？

主な発見

• 超曲面 X = p⁻¹(0) ⊂ ℂ⁴ が連結であれば、X は ℝ⁶ に微分同相である。
• X が ℂ³ に同型であるとき、すべてのファイバー X_λ = p⁻¹(λ) は ℂ³ に同型であり、写像 ρ = (x,p): ℂ⁴ → ℂ² はすべてのファイバーが ℂ² に同型である。
• p = f(x,y)u + g(x,y,z) が残余 x-変数であれば、f と g が [15] の関数的条件 (40) を満たす限り、p は ℂ[x,y,z,u] 内の x-変数である。
• 証明により、条件 (41) を満たすとき、f は f = Φ(x, a(x)y + zQ(x,z)) の形に限られ、これにより p が x-変数であることが示される。
• C = {f = g = 0} および Γ = f⁻¹(0) ⊂ ℂ² である射影 π: C → Γ を用いた、連結性および ℂ³ への同型のための基準が提示される。
• 多くの場合、p が ℂ⁴ 内の変数であり、ファイブレーション ρ が局所自明であることが確認されるが、一般の場合については未解決のままである。