[論文レビュー] Simple derivation of basic quadrature formulas

Erik Talvila, Matthew Wiersma|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、被積分関数の2階または4階微分に適切に選んだ多項式または区分的多項式を乗じ、それを部分積分することで、中点則、台形則、シンプソン則を単一かつ簡潔に導出する手法を提示する。主な貢献は、標準の中点則および台形則よりも誤差定数が小さい修正された台形則の導出であり、最小限の前提条件下で構成的に導出されており、微積分および数値解析の授業に適している。

ABSTRACT

Simple proofs of the midpoint, trapezoidal and Simpson's rules are proved for numerical integration on a compact interval. The integrand is assumed to be twice continuously differentiable for the midpoint and trapezoidal rules, and to be four times continuously differentiable for Simpson's rule. Errors are estimated in terms of the uniform norm of second or fourth derivatives of the integrand. The proof uses only integration by parts, applied to the second or fourth derivative of the integrand, multiplied by an appropriate polynomial or piecewise polynomial function. A corrected trapezoidal rule that includes the first derivative of the integrand at the endpoints of the integration interval is also proved in this manner, the coefficient in the error estimate being smaller than for the midpoint and trapezoidal rules. The proofs are suitable for presentation in a calculus or elementary numerical analysis class. Several student projects are suggested.

研究の動機と目的

• 補間や高度な平均値の定理に依存せずに、古典的な数値積分則（中点則、台形則、シンプソン則）のアクセスしやすい、初等的な証明を提供すること。
• 2階または4階微分の連続性を仮定し、部分積分と初等的な最適化のみを用いて、これらの則の誤差見積もりを導出すること。
• 端点における1階微分を含む修正された台形則を導入し、標準の中点則および台形則よりも小さい誤差定数を達成するように正当化すること。
• 滑らかでない被積分関数、例えば有界でない微分やヘンストック＝キュルツヴァイル積分可能関数に対しても、この手法を拡張し、アレクシエヴィッチノルムを用いること。
• 教育的応用を支援するため、微積分および上級学部レベルの学生向けにプロジェクトおよび演習を提案すること。

提案手法

• 被積分関数の2階または4階微分にモニック多項式または区分的多項式関数を乗じた積分から出発し、部分積分を適用して数値積分公式を導出する。
• 中点則および台形則の証明では、$ \int_a^b f''(x) p(x) \, dx $ に対して部分積分を適用し、$ p(x) $ を境界項を消去するように2次または区分的2次関数として選ぶ。
• シンプソン則の場合は、$ \int_a^b f^{(4)}(x) p(x) \, dx $ を用い、モニックで区分的4次関数 $ p(x) $ を選ぶことで、標準的な3点公式が得られる。
• 修正された台形則は、$ p(x) $ を誤差項を最小化するように選ぶことで導出され、誤差境界の比例定数が標準の中点則および台形則よりも小さくなる。
• 誤差見積もりは、2階または4階微分の一様ノルムを用いて導出され、$ |E^M(f)| \leq \frac{(b-a)^3 \|f''\|_\infty}{24} $ のような形で表される。
• 被積分関数が滑らかでない場合にも、ヘンストック＝キュルツヴァイル積分とアレクシエヴィッチノルムを用いることで、$ f'' $ がリーマンまたはルベーグ積分可能でない場合でも誤差見積もりが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、部分積分と初等的な多項式最適化のみを用いて、中点則、台形則、シンプソン則を導出できるか？
• RQ2 標準の中点則および台形則よりも小さい誤差定数を達成する修正された台形則を構成できるか？
• RQ3 被積分関数の微分が有界でない、あるいは積分可能でない場合（例：$ f''(x) = \sin(1/x) $ や $ f(x) = \sqrt{x} $）に、どのような誤差境界が得られるか？
• RQ4 被積分関数の2階微分 $ f'' $ がリーマンまたはルベーグ積分可能でないが、ヘンストック＝キュルツヴァイル積分可能であるような関数に対し、この手法をどの程度一般化できるか？
• RQ5 2階微分が部分区間で著しく変動する場合、誤差見積もりをどのようにして改善できるか？

主な発見

• 中点則の誤差は $ \frac{(b-a)^3 \|f''\|_\infty}{24} $ で抑えられ、合成則では誤差 $ \leq \frac{(b-a)^3 \|f''\|_\infty}{24n^2} $ となる。
• 台形則の誤差は $ \frac{(b-a)^3 \|f''\|_\infty}{12} $ で抑えられ、合成則では誤差 $ \leq \frac{(b-a)^3 \|f''\|_\infty}{12n^2} $ となる。
• シンプソン則の誤差は $ \frac{(b-a)^5 \|f^{(4)}\|_\infty}{2880} $ で抑えられ、合成則では誤差 $ \leq \frac{(b-a)^5 \|f^{(4)}\|_\infty}{2880n^2} $ となる。
• 修正された台形則は、誤差が $ (b-a)^3 \|f''\|_\infty $ に比例し、3つの標準則の中で最も小さい比例定数を持つ。
• $ f(x) = |\log x|^\alpha $ のような特異性を有する関数に対し、$ x \to 0^+ $ で $ f''(x) = O(1/x^2) $ となる場合、この手法により有効な数値積分則が得られ、誤差は $ \sup |f''(x)x^2| $ で抑えられる。
• $ f'' $ がリーマンまたはルベーグ積分可能でない場合でも、ヘンストック＝キュルツヴァイル積分とアレクシエヴィッチノルムを用いることで誤差を推定可能であり、この手法の適用範囲がより広い関数類に拡張される。